Лекция на тему «Формулы Крамера»

Df Уравнением называется равенство, справедливое не для всех значений переменных.

Df Если равенство справедливо для любых значений переменной, то оно называется тождеством.

1. (х+2)² = х²+4х+4 – тождество

2. (х+2)² = х+2 – уравнение

Df Если множества решений двух уравнений совпадают, то эти уравнения называются равносильными или эквивалентными.

1. 

2. 

Свойство 1. Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же выражение, то получается равносильное уравнение.

Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

Свойство 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на выражение, неравное нулю, то получится равносильное уравнение.

Df Решением системы 2-х линейных уравнений с двумя неизвестными называется такая упорядоченная пара чисел х и у , при подстановке которых соответственно вместо х и у в оба уравнения получаются верные равенства.

Df Система называется совместной, если существует хотя бы одно её решение; если у неё нет решения, то – несовместной.

Df Если у системы существует единственное решение, то она называется определённой; если – бесконечное множество решений, то – неопределённой.

Способы решения:1) подстановка; 2) алгебраическое сложение; 3) умножение или деление; 4) графический; 5) замена переменной; 6) метод определителей.

Метод определителей

Употребим прием исключения неизвестных:

умножим (1) на b₂

(2) на (-b₁) и сложим

…………

(a₁b₂ – a₂b₁) x = b₂c₁ – b₁c₂ (*)

Аналогично, исключая из системы неизвестное х, найдем

(a₁b₂ – a₂b₁) у = a₁c₂ – a₂c₁ (**)

Введем обозначения:

Тогда (*) и (**) запишем так:

Δ назовем определителем системы

Δ_х получается из Δ заменой элементов 1-го столбца свободными членами системы; Δ_у – заменой элементов 2-го столбца свободными членами.

Проведем нал-ние решения системы такой

1 случай.

Если Δ ≠ 0, то - единственное решение, т.е. совместное и определенное. Это есть формулы Крамера.

2 случай.

а) Если Δ = 0, и хотя бы один из определителей Δ_х = Δ_у отличен от нуля, то система несовместная.

напр. Δ_x ≠ 0, тогда 1-е уравнение не имеет решений.

б) Если Δ = 0 и Δ_х = Δ_у = 0, то – система совместная, но неопределенная, т.е. имеет бесконечное множество решений.

В этом случае одно из уравнений есть следствие другого.

Система 3-х линейных уравнений с 3 неизвестными

(1)

здесь x, y, z – неизвестные, остальные буквы обозначают постоянные.

Тройка чисел x₀, y₀, z₀ называются решением системы (1), если эти числа удовлетворяют уравнениям системы (1).

Введем обозначения:

Это определитель системы

Тогда (без док-ва) Δ*x = Δ_x, Δ*y = Δ_y, Δ*z = Δ_z

решение находится по формулам Крамера

1. Δ ≠ 0

2. Δ = 0

II a) Δ_x ≠ 0 или Δ_y ≠ 0 или Δ_z ≠ 0

тогда 0*x ≠ 0 или 0*y ≠ 0 или 0*z ≠ 0 что означает, что нет решений

II б) Δ_x = 0, Δ_y = 0, Δ_z = 0

Возможны случаи:

1. Нет решений

2. 2. Если бесконечное множество решений (по крайней мере, одно из уравнений ………)

Примеры:

1. 

нет решений

……….

с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. Поэтому эти методы представляют скорее теоретический интерес и на практике не могут быть использованы для решения реальных экономических задач, сводящихся часто к системам с большим числом уравнений и переменных.

Формулы Крамера. Решения квадратной невырожденной линейной системы линейных уравнений

А = Х =

det A ≠ 0 – невырожденная

(1)

Эту формулу (1) распишем подробно