4.4. Общая схема исследования функций и построения графиков

Рассмотренные нами теоремы позволяют достаточно детально исследовать функцию, заданную аналитически, и построить ее график. Примерная схема исследования функции заключается в следующем.

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность-нечетность (установить, является ли график симметричным).

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Исследовать функцию на непрерывность.

5. Найти вертикальные и наклонные (горизонтальные) асимптоты.

6. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

7. Исследовать функцию на выпуклость и установить точки перегиба.

8. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и, для уточнения, некоторые дополнительные контрольные точки.

Полученные в результате такого исследования сведения выявляют основные особенности функции и ее графика.

Вопросы для повторения

• Дайте определение функции одной переменной.

• Что называется областью определения функции?

• Какие функции называются четными (нечетными)? Какие особенности характерны для графика четной (нечетной) функции?

• Дайте определение предела последовательности.

• Дайте определение предела функции.

• Дайте определение асимптоты.

• Как получить уравнения асимптот?

• Дайте определение интервала монотонности (возрастания или убывания) функции.

• Дайте определение экстремума функции.

• Дайте определение производной функции.

• Напишите уравнение касательной.

• Сформулируйте правило Лопиталя.

• Как определить точки экстремума и интервалы монотонности?

• Что означает фраза «график функции направлен выпуклостью вверх (вниз)»?

• Дайте определение точки перегиба.

• Как найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графиков функции?

• Сформулируйте основные положения общей схемы исследования функции и построения ее графика.

1.

For the following cost functions (C(x)) and demand relations (P(x)),

№	Cost function	Demand function
5.1.1	C(x) = 2000 + 10x	P = 100 – 0.5x
5.1.2	C(x) = 4000 + x2	P = 300 – 2x
5.1.3	C(x) = 500 + 20x	P = 100 – x
5.1.4	C(x) = 500 + 20x	P = 120 – 2x

Sketch graphs of:

1. the cost function / C(x)

2. the revenue function / R(x)

3. the profit function / F(x)

and determine the regions in which these functions are increasing and decreasing

2. Find the local maximum and minimum values of the following functions:

5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4

3. A small manufacturing company can sell all the items it can produce at a price of $6 each.

The cost of producing x items per week (in dollars) is

C(x) = 1000 + 6x -0.003x² +10^-6x³

What value of x should be selected in order to maximize the profit?

4. The cost of producing x items per week (in dollars) is

C(x) = 1000 + 6x -0.003x² +10^-6x³

For the particular item in question, the price at which x items can be sold per week is given by the demand equation

P = 12 – 0.0015x

Determine the price and the volume of sales at which the profit is maximum?