4.3. Исследование функций на выпуклость

Определение. Кривая на интервале (a,b) обращена выпуклостью вверх (вниз), если на этом интервале все точки кривой лежат ниже (выше) любой ее касательной, проведенной к кривой на этом интервале.

Теорема (достаточное условие выпуклости). Пусть в каждой точке некоторого интервала (a,b) вторая производная дважды дифференцируемой функции y= f (x) положительна (отрицательна). Тогда график функции на этом интервале направлен выпуклостью вниз (вверх).

Рис.4.3.1

Пример. Функция спроса в зависимости от дохода М имеет вид Q = 500 - 400e^-М. Построить график функции спроса.

Решение. Данная функция спроса Q= представляет собой монотонно возрастающую экспоненциальную функцию, поскольку ее производная Q'(М ) = 400e^-М > 0.

Функция имеет горизонтальную асимптоту Q = 500, поскольку Q(М ) = 500; при М = 0 спрос равен Q = 100.

График обращен выпуклостью вверх (см. рис.4.3.1), т.к. Q''(M) = - 400e^-М < 0.

Определение. Точка x₀  называется точкой перегиба графика дифференцируемой функции y=f (x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости графика функции.

Поскольку функция f(x) может менять знак, как и любая другая функция, только в нулях или в точках разрыва, то точки перегиба могут быть только в тех точках, где вторая производная равна нулю или не существует.

Теорема (необходимое условие перегиба). В точке перегиба графика функции y = f (x) вторая производная либо равна нулю (f’(x)=0), либо не существует.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная функции y=f (x) в точке x_o равна нулю, а при переходе через нее меняет знак на противоположный, то x_o является точкой перегиба графика этой функции.

Рис. 4.3.2

Свойство графика функции в точке перегиба. Пусть x₂ ‑ точка перегиба графика функции y=f (x). Проведем через точку М(x₂, f (x₂)), лежащую на графике, касательную (рис. 4.3.2). Поскольку, по определению, при переходе через эту точку меняется направление выпуклости графика функции, то в точке М(x₂, f (x₂)) график пересекает касательную.

В точке перегиба функции вторая производная может не существовать (например, обращаться в бесконечность).

Пример. На рис. 4.3.2 график функции имеет две точки перегиба: x₁ и x₂. В точке x₁ касательная параллельна оси ординат; здесь первая производная обращается в бесконечность, и, следовательно, вторая производная не существует.

Исследование функции на выпуклость сводится к отысканию интервалов знакопостоянства второй производной. Поэтому для исследования функции на выпуклость ее графика нужно выполнить следующие действия.

1. Найти вторую производную функции y = f(x).

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3.Определить знак второй производной слева и справа от каждой из таких точек и установить, какие из этих точек являются точками перегиба. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример. Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции y=e^1/x.

1) Поскольку y=e^1/x(-1/x²), для второй производной получаем

y= e^1/x(-1/x²)(-1/x²)+e^1/x(2/x³)= 

= e^1/x(1/x⁴+2/x³) = e^1/x(1+2x)/x⁴.

2) При x=-0,5 f (x)=0.

3) Знак второй производной совпадает со знаком выражения 1+2x.

Поэтому при x < -0,5 график функции направлен выпуклостью вверх, а при x > -0,5 ‑ выпуклостью вниз. Точка x=-0,5 является точкой перегиба.

4) f (x)= e^1/(-0,5) = e ^-2 =1/e².

Пример. По оценке социологов во время предвыборной кампании в городе N число (y) приверженцев кандидата M на пост мэра увеличивается во времени (t - недели) согласно уравнению y = 10000/(1+80e^-t). Когда ежедневный прирост приверженцев кандидата M начнет спадать? Оценить максимальное число его сторонников накануне выборов.

Решение. Ежедневный прирост y сторонников кандидата M напрямую зависит от скорости роста его приверженцев y (t). Поскольку

y = 800000e^-t/(1+80e^-t )², y = 800000e^-t(80e^-t-1)/(1+80e^-t )³,

функция y = y (t) является монотонно возрастающей, причем при t < ln80 скорость роста приверженцев y (t) растет, а при t > ln80 ‑ падает. Это означает, что график функции y = y (t) при t < ln80 направлен выпуклостью вниз, а при t > ln80 ‑ выпуклостью вверх. Таким образом, через t = ln80  4,38, т.е. на пятой неделе, популярность кандидата M начнет спадать. Поскольку функция y=y (t) имеет горизонтальную асимптоту y= 10000, а время выборов в задаче не указано, то число приверженцев кандидата M накануне выборов не превысит 10000. Отметим, что точка с координатами t = ln80 , y = 5000 является точкой перегиба графика функции y = 10000/(1+80e^-t).