5. Синтез принципиальных схем фильтров

Окончательный этап синтеза фильтра состоит в построении его электрической принципиальной схемы. Для этого может быть использован подход на основе так называемого структурного синтеза, когда цепь с передаточной функцией К(р) образуется путем последователь­ного (каскадного) включения некоторого числа звеньев с передаточными функциями Кi(р), i =1,…m - число звеньев (рис.7).

Вход К₁(p) K₂(p) K_m(p) Выход

Для структуры , представленной на рис. 7, очевидно, имеет место

(5.1)

и

(5.2)

Следовательно, передаточные функции Кi(р), i =1,…m должны быть такими, чтобы их произведение давало требуемую передаточную функ­цию К(р) или, другими словами, чтобы они могли реализовать полю­сы функции К(р) , которые были определены ранее на этапе аппрок­симации.

Из (4.9) и (5.1) следует, что передаточная функция К(р) ФНЧ любого порядка n может быть реализована на основе звеньев по­рядка не выше второго. Если n является четным числом, то пере­даточную функций (5.1) можно реализовать c помощью каскадного соединения m = n / 2. фильтров второго порядка, т.е. представить ее в виде

(5.3)

где (5.4)

(5.5)

В (5.4),(5.5) Zн1 и Zн2 пред­ставляют собой пары комплексно-сопряженных полюсов,

обобранные из всех полюсов в (4.9).

Е сли n- нечетное число, то тогда , и для реа­лизации передаточной функции

К(р) необходимо использовать звено первого порядка. В этом случае К(р) можно представить в виде

(5.6)

определяются выражениями аналогичными (5.4) и (5.5) а К1(Р)- передаточная функция фильтра первого порядка

(5.7)

где Zн1 вещественный (отрицательный) полюс.

Передаточцую функцию (5.7) можно реализовать с помощью про­стейшей RС цепочки (рис. 8).

Для этой цепочки:

(5.8)

о ткуда полюс . Из (5.8) следует, что для ФНЧ первого порядка (на

уровне 0,5 коэффициента передачи по мощности), следовательно, нормированный полюс

будет равен - 1, т.е. для простейшей RC - цепочки передаточная функция

(5.7) имеет вид:

Два комплексно-сопряженных полюса передаточной функции K(p) можно реализовать, например с помощью активных ФHЧ второго поряд­ка на основе операционных усилителей. Операционные усилители обладают высоким входным и низким выходным сопротивлением, что обеспечивает хорошую развязку звеньев друг от друга.

Построение активных RС - фильтров на основе операционных усилителей рассмотрено в /2, с. 361-356/ и других источниках /3,4/. Здесь кратко рассмотрим методику синтеза активного ФНЧ второго порядка, подробно изложенную в /2/.

Активное звено второго порядка можно получить, соединив ин­вертирующий вход операционного усилителя с выходом посредством двухпетлевой цепи обратной связи (рис, 9).

Y₄

Y₅

Y₁ Y₃

Вход

Выход

Y₂

Для схемы, изображенной на рис. 9 в /2, с. 354/, получено выражение для передаточной функции в предположении, что операционный усили­тель является иде­альным, т. е. имеет бесконечно большие значения коэффициен­та усиления, полосы пропускания и входно­го сопротивления, а выходное сопротивле­ние его бесконечно мало. Это выражение имеет вид

(5.9)

где Yi(P), i =1…5 —операторные проводимости, которые по условию должны быть реализованы с помощью пассивных двухполюсников типа R и C .В. случае резистора операторная проводимость будет равна G , а в случае конденсатора -рС .

Таким образом, задача синтеза активной цепи с двухпетлевой обратной связью сводится к подбору проводимостей пассивных эле­ментов, которые обеспечивают заданный вид передаточной функции, а следовательно, и амплитудно-частотной характеристики.

Как известно из разд.4, передаточная функция ФНЧ 2-го порядка в общем случае должна иметь следующий вид

(5.10)

где , а, в, с - некоторые постоянные величины. Параметр связан с параметром А0 (напомним, что числитель передаточной функции обозначается через А0 тогда , когда в знамена­теле свободный член равен 1, т.е. С = 1 ) соотношением

(5.11)

т.е. параметр А0 определяет значение передаточной функции на нулевой частоте входного сигнала или, как говорят, на постоян­ном токе. Параметр А0 также называют коэффициентом усиления.

Сравнивая (5.9) и (5.10), видим, что для реализации передаточной функции вида (5.10) необходимо, чтобы элементы У1 , Уз , У4 были резисторами, а элементы У2 и У5 -конденсаторами. При этом (передаточная функция (5.9) примет вид

(5.12)

Полюсы передаточной Функции (5.12) определяются выражением

(5.13)

Это выражение позволяет синтезировать ФНЧ 2-го порядка с заданными значениями полюсов, в том числе и с заданными значе­ниями пар полюсов, выбранных для i -го звена второго поряд­ка при каскадной реализации ФНЧ n - го порядка. К этому выражению еще требуется добавить соотношение, необходимое для обеспе­чения заданного значения параметра A0 . Как следует из (5.11) и (5.12), это соотношение имеет вид

(5.14)

Таким образом, синтезировав электрические принципиальные схемы всех звеньев 2-го порядка, получим схему ФНЧ n-го порядка. В качестве примера рассмотрим синтез активного ФНЧ 2-го порядка , который должен иметь два нормированных полюса переда­точной функции

(5.15)

Как известно из разд.4, эти полюсы соответствуют фильтру Баттерворса 2-го порядка. Для перехода к ненормированным полюсам Р1,2 необходимо нормированные полюса домножить на зна­чение частоты среза ωс. т.е.

(5.16)

П усть и кроме того, A0=1 . Далее из (5.14) получаем что для обеспечения

A0=1 следует вы­полнить условие R1=R4 .Зададимся некоторыми приемлемыми но­миналами резисторов, положив их одинаковыми: R1=R3= R4=1,8 кОм, т.е.

Приравнивая вещественные части выражений (5.13) и (5.16), получаем формулу для определения емкости конденсатора C2 :

,

откуда, подставляя известные значения величин, находим C2=1.18мкФ. Чтобы найти емкость конденсатора С5, следует приравнять мнимые части выражений (5.13) и (5.16):

Решив это уравнение, находим C5= 0,26мкФ.

Принципиальная схема синтезированного активного фильтра изображена на рис. 10.

_{1.8 кОм 0.26 мкФ}

_{1.8 кОм 1.8 кОм}

_{1.18 мкФ}

Последовательность соединения ФНЧ 2-го порядка, обеспечивающих формирование требуемой передаточной функции, может быть произвольной, если нет дополнительных условий при проектировании фильтра, например: обеспечение максимального динамического диапазона, обеспечение мини­мальных потерь в полосе пропускания, обеспечение минимальной чув­ствительности передаточной функции и т.д. Однако при наличии этих условий последовательность включения звеньев уже не может быть произвольной и кроме этого, не может быть произвольным распределение общего коэффициента усиления А0 (мы приняли ранее, что все усиление реализуется в последнем звене (см. (5.5)).

Эти вопросы выходят за рамки данных методических указаний. С ними можно самостоятельно ознакомится в [3.4].