2.3. Понятие простого и сложного процента

2.3.1. Простые проценты

В зависимости от способа начисления проценты делят на простые и сложные. При использовании простых процентов сумма процентов в течение всего срока долга определяется исходя из первоначальной суммы долга независимо от количества периодов начисления и их длительности. Сумма процентов при этом определяется по формуле:

J = n • J_r = n • i • P, (2.3)

J_r - сумма процентов за год,

Р - сумма, на которую начисляются проценты;

i – годовая ставка процентов в относительных единицах.

Если срок хранения вклада выражается в днях, то в формулу (2.3) следует подставить выражение n = t / К.

Сумма долга с начисленными процентами будет определять выражением:

S = P + J = P(1 + n • i) (2.4)

Эта формула может быть представлена в виде:

S = P • k_н (2.5)

где k_н - множитель (коэффициент) наращения.

Заметим, что увеличение процентной ставки или срока в (k) раз увеличит множитель наращения в (1 + kni)/(l + ni) раз.

В банковской практике различных стран срок в днях и расчетное количество дней в году при начислении процентов определяется по-разному.

В так называемой германской (коммерческой) практике расчёт числа дней основывается на длительности года в 360 дней и месяцев в 30 дней; во французской - длительность года равна 360 дням, а количество дней в месяцах - равно их фактической календарной длительности (28, 29, 30, 31); в английской - длительность года равна 365 дням и соответствующая точная длительность месяцев.

При изменении суммы на счёте общая сумма процентов за весь срок хранения вклада будет равна сумме процентов, начисленных для каждого периода начисления, в котором сумма на счёте была постоянна. При этом в практике используется также методика расчета с вычислением так называемых процентных чисел, определяемых выражением:

Процентное число = (Сумма • Длительность в днях) / 100.

Для определения суммы начисленных процентов все процентные числа складываются и их сумма делится на постоянный делитель, вычисляемый следующим образом:

Постоянный делитель =

= Количество дней в году / Годовая ставка процентов.

Объединяя данные выражения, получаем для одного период начисления:

Проценты = (Сумма • Длительность в днях• Процентная ставка) / (100 • Количество дней в году) = Длительность в днях / Количество

дней в году • Процентная ставка • Сумма / 100.

Если ставки процентов изменяются в течение срока хранения вклада, сумму начисленных процентов можно определить, применяя последовательно формулу (2.3).

Пусть на последовательных интервалах времени n₁ и n₂ используются простые ставки процентов i₁ и i₂, тогда по формуле (2.3) сумма процентов, начисленных за первый интервал, будет равна:

J₁ =n₁ • i₁ • Р.

Сумма процентов, начисленных за второй интервал, составит:

J₂ =n₂ • i₂ • Р.

Общая сумма процентов за два интервала начисления будет равна:

J = J₁ + J₂ = n₁ • i₁ • Р + n₂ • i₂ • Р = P(n₁ • i₁ + n₂ • i₂)

Наращенная сумма за два интервала начисления составит:

S = P + J = Р(1+ n₁ • i₁ + n₂ • i₂).

При N интервалах начисления, на каждом из которых будет применяться своя ставка процентов, сумма процентов составит:

(2.6)

Сумма вклада с процентами (наращенная сумма) будет в этом случае равна:

(2.7)

Из формулы (2.4.) можно при прочих заданных условиях определить срок вклада в годах:

n = (S - P)/P • i (2.8)

или в днях:

t = ((S - P)/P • i)K, (2.9)

а также ставку простых процентов при прочих заданных условиях:

i = (S - P)/(P • t) K. (2.10)

Используя формулу (2.4.), можно определить сумму вклада при заданных значениях суммы вклада с начисленными процентами, срока вклада и ставки процентов:

P = S/(1 - n • i) = S/(1 + t/k ). (2.11)

Это выражение можно также записать в виде:

P = S • k_d,

где k_d = - коэффициент дисконтирования (он, как видим величина множителя (коэффициента) наращения).