3. Векторная авторегрессия
В 1970-х годах макроэкономические прогнозы строились либо с использованием упрощенных моделей авторегрессии — скользящего среднего (ARMA), либо с использованием популярных в то время больших структурных эконометрических моделей. Однако инвариантность параметров по отношению к моделируемым изменениям оказалась сомнительной, а рост цен в эти годы показал неработоспособность структурных моделей при выработке политических рекомендаций. Требовалась эконометрическая конструкция, которая могла бы решить многочисленные проблемы.
Кристофер Симс (Sims, 1980) создал такую конструкцию — векторные авторегрессии (VAR). VAR —обобщение одномерной авторегрессии на многомерный случай, каждое уравнение в VAR —регрессия одной переменной на запаздывающие значения самой себя и других переменных в системе. Симс и другие исследователи утверждали в ряде ранних статей, что VAR - согласованный и надежный подход к прогнозированию, структурным выводам и анализу экономической политики.
Модели векторной авторегрессии (VAR) можно рассматривать как объединение моделей временных рядов и систем одновременных уравнений.
Выделяют три различных VAR-модели:
- приведенная форма VAR;
- рекурсивная VAR;
- структурная VAR.
Все три являются динамическими линейными моделями, которые связывают текущие и прошлые значения вектора Yt n-мерного временного ряда. Приведенная форма и рекурсивные VAR – это статистические модели, которые не используют иных экономических соображений кроме выбора переменных. Структурная VAR включает ограничения, следующие из макроэкономической теории, и по сути анализирует согласие теории и практики в реальной экономике.
Приведенная форма VAR выражает Yt в виде распределенного лага прошлых значений плюс серийно некоррелированный член ошибки, то есть обобщает одномерную авторегрессию на случай векторов. Математически это система n уравнений, которые можно записать в матричной форме следующим образом:
(17)
где
- это вектор констант;
A1, A2, ..., Ap – матрицы коэффициентов;
t
-
вектор серийно некоррелированных
ошибок, о которых предполагается, что
они имеют среднее ноль и матрицу
ковариаций
.
Содержательно ошибки t,
в (17) – это неожиданная динамика в Yt,
остающаяся после учета распределенного
лага прошлых значений.
Поскольку каждое из уравнений содержит одни и те же регрессоры (Yt–1,...,Yt–p) и нет перекрестных ограничений, то оценивать параметры приведенной формы VAR можно обычным МНК, применяя его к каждому из уравнений в отдельности. При этом матрицу ковариаций ошибок можно оценить выборочной ковариационной матрицей остатков, полученных из МНК. Единственная тонкость – определить длину лага p, но это можно сделать, используя упоминавшиеся ранее информационные критерии (Акаики и Шварца).
Рекурсивная и структурная VAR-модели на уровне матричных уравнений выглядят одинаково. Они учитывают одновременные (т.е. однопериодные) взаимодействия между элементами Yt в явном виде, что сводится к добавлению одновременного члена к правой части уравнения (17):
(18)
где
- вектор констант;
B0,..., Bp – матрицы коэффициентов;
t — ошибки.
Именно добавление матрицы B0 создает возможность отражения однопериодного взаимодействия между n переменными. Иначе говоря, ввод B0 позволяет сделать так, чтобы эти переменные, относящиеся к одному моменту времени, определялись совместно.
Рекурсивная структура дает набор рекурсивных уравнений, которые можно оценить с помощью МНК. Эквивалентный способ оценивания заключается в том, что уравнения приведенной формы (17), рассматриваемые как система, умножаются слева на нижнюю треугольную матрицу.
Метод оценивания структурной VAR зависит от того, как именно идентифицирована B0. Подход с частичной информацией влечет использование методов оценивания для отдельного уравнения, таких как двухшаговый метод наименьших квадратов. Подход с полной информацией влечет использование методов оценивания для нескольких уравнений, таких как трехшаговый метод наименьших квадратов.
Количество структурных VAR–предположений, которые идентифицируют одновременные взаимосвязи между переменными, ограничено только изобретательностью исследователя.
Поскольку матрицы оцененных коэффициентов VAR затруднительно интерпретировать непосредственно, то чаще интерпретируют эффекты в ошибке путем разложения ошибки (дисперсии) остаточной последовательности. Такое разложение показывает, насколько ошибка в j-м уравнении важна для объяснения неожиданных изменений i-й переменной. Если ошибки VAR не коррелированы по уравнениям, то дисперсию ошибки прогноза на h периодов вперед можно записать как сумму компонентов, являющихся результатом каждой из этих ошибок.
Следует отметить, однако, что применение VAR моделей в прогнозировании весьма ограничено. Во-первых, чтобы сформировать систему уравнений надо иметь достаточно обоснованную теоретическую связь между действительными либо предполагаемыми регрессорами. Во-вторых, для получения состоятельных оценок необходимо иметь обширную статистику. К сожалению, в современной экономике ни первое, ни второе практически недостижимо.