2. Закон равной вероятности.

Если рассеивание размеров зависит только от одного параметра (т. н. Доминирующего фактора, например износа инструмента), то распределение действительных размеров партии обработанных деталей подчиняется закону равной вероятности.

(рисунок «г»)

(рисунок «д»)

Так, например, если износ обрабатываемого инструмента, например резца, во времени подчиняется прямолинейному закону (рис. «г»), то действительные размеры обрабатываемых деталей изменяются также строго постоянно, увеличиваясь при обработке валов и уменьшаясь при обработке отверстий, т. к. износ инструмента (резца) даёт изменение длины резца во времени по прямолинейному закону (рис. «г»), то приращение размера обрабатываемых деталей также подчиняется прямолинейному закону (рис. «д»), т. е. закону равной вероятности.

Распределение размеров обрабатываемых деталей также подчиняется закону равных вероятностей при изготовлении с достаточно высокой точностью (порядка 6...7 квалитета и точнее). Фактическое рассеивание в этом случае может быть определено из выражения:

Δ = (2√3)σ

3. Закон Симпсона.

При наличии больших погрешностей обработки, связанных с недостаточной жёсткостю системы СПИД, износа режущего инструмента и других причин, т. е. когда доминирующих погрешностей 2 или 3, фактическое распределение действительных размеров подчиняется закону Симпсона, известного также под названием закона треугольника.

(рисунок)

Распределение действительных размеров деталей по закону Симпсона встречается при более грубой обработке (по 9...10 квалитету и грубее). Фактическое поле рассеивания размеров в этому случае:

Δ = (2√6)σ

4. Закон Реллея (закон эксцентриситета)

Распределение существенно положительных величин, таких как биение, эллиптичность, ошибка в шаге резьбы и т. д. характеризуется их абсолютными значениями без учёта знака и подчиняется закону Релея. На рис. «е» представлена теоретическая кривая закона Релея:

(рисунок «е»)

(рисунки «ж», «з»)

R = √x² + z²

Этот закон — однопараметрический. Уравнение кривой распределения:

Y = (R²/σ²) * e^-R²/2σ²

где: R — переменная величина эксцентриситета (биения);

σ — среднеквадратичное отклонение.

Анализ уравнения показывает, что Y = 0 при R = 0. При этом начало координат всегда совпадает с началом кривой распределения.

Особенностью данного распределения является то, что в его основе лежит закон нормального распределения, т. к. координаты x, z конца эксцентриситета распределены нормально, а само распределение эксцентриситета не является нормальным.

На рис. «ж» показано эксцентрично расположенное отверстие, которое смещено от заданного положения на величину эксцентриситета R. Конструктором предполагалось совмещение оси отверстия с осью вала.

На рис. «з» показана конструкция этого отверстия, эксцентрично расположенного по отношению к этой оси.

5. Композиция законов распределения и суммирование случайных и систематических погрешностей

При обработке деталей на станках на точность их размеров часто одновременно воздействуютразличные критерии, вызывающие появление как случайных, так и систематических погрешностей. В подобных случаях закон расперделения размеров обрабатываемых деталей представляет собой композицию нескольких законов распределения (рис. «и»).

(рисунки «и», «к», «л», «м», «н» на ~1 страницу)

Так, например, когда при обработке детали на точность её размеров существенное влияние оказывает износ режущего инструмента (доминирующий фактор, вызванный, как указывалось ранее, распределения размеров по закону равной вероятности — рис. «и», кривая I). Общее распределение размеров происходит по закону, представляющему собой композицию законов равной вероятности (кривая I) и закона нормального распределения (кривая II). Как видно из рис. «и», преобладание одного из двух сочетающихся законов, которые определяют форму фактической кривой распределения, зависит от соотношения l/6σ, где l — параметр, в данном случае — величина приращения размера детали (например, приращение размера обрабатываемого валика за счёт износа резца).

Когда на размеры деталей одновременно влияют случайные причины, вызывающие рассеяние размеров по закону Гаусса и систематической погрешности действия, то кривая Гаусса на рис. «к» смещается на величину этой погрешности, сохраняя форму (рис. «л»). В этом случаеполе рассеивания определяется по выражению:

Δ = 6σ + Δ_сист

Так, например, при развёртывании отверстий в партии деталей распределение диаметров деталей определяется по нормальному закону с полем рассеивания 6σ. При смене развёртки характер рассеивания не изменяется, т. к. все условия обработки остаются неизменными, однако вершина кривой рассеивания от 2-й обработки смещается на величину этой разности (рис. «л»).

Если при этом практическая кривая распределения строится по размерам партии деталей, обработанных 1-й и 2-й развёрткой без учёта систематической погрешности, то мы получаем помпозицию двух законов (рис. «м»).

При определённых условиях поднастройки, режимы обработки деталей 2-й поднастройки могут существенно изменяться и, как следствие, меняются форма и размеры 2-й кривой (рис. «н»).

Рассмотрим правило суммирования погрешностей:

1. при вчислении сумарной погрешности обработки систематические погрешности складываются алгебраически, т. е. с учётом их знаков. Поэтому в результате суммирования может иметь место не только увеличение, но и уменьшение общей погрешности в связи с взаимной композицией влияния составляющих погрешности. Так, например, удлинение резца в связи с его нагревом, уменьшающее диаметр обтачиваемого вала, может скомпенсировать влияние износа резца, вызывающего увеличение диаметра обработки;

2. систематические погрешности со случайными погрешностями складываются арифметически:

3. случайные погрешности, подчиняющиеся закону Гаусса, складываются по правилу квадратного корня:

Δ = √(Δ₁² + Δ₂² + … + Δ_n²)

4. случайные погрешности, не подчиняющиеся закону Гаусса, при отсутствии доминирующих погрешностей, складываются по квадратному закону, но с учётом коэффициентов k:

Δ = √((k₁Δ₁)² + (k₂Δ₂)² + … + (k_nΔ_n)²)

где: k₁…k_n — коэффициенты, зависящие от вида кривых распределения — составляющих кривых погрешностей.

Если Δ₁ подчиняется закону Гаусса, то k₁ = 1.

Если закону Симпсона, то k₁ = 1,22.

Если закону равной вероятности, то k₁ = 1,73.