Тема 2.1

Вправа 1. На множині Т задати операцію так, щоб алгебра < Т, ○> була напівгрупою.

Варіанти множини Т :

1) T = {a₁, a₂, a₃}; 2) T = {b₁, b₂, b₃};

3) T = {c₁, c₂, c₃}; 4) T = {d₁, d₂, d₃};

5) T = {e₁, e₂, e₃}; 6) T = {f₁, f₂, f₃};

7) T = {g₁, g₂, g₃}; 8) T = {h₁, h₂, h₃};

9) T = {i₁, i₂, i₃}; 10) T = {j₁, j₂, j₃}.

Розв’язок: Нехай T = {d₁, d₂, d₃}. Задамо операцію ○ так, щоб алгебра <Т,○> була напівгрупою, таким способом:

d₁ ◦ d₁ = d₁; d₁ ◦ d₂ = d₁; d₁ ◦ d₃ = d₁;

d₂ ◦ d₁ = d₂; d₂ ◦ d₂ = d₂; d₂ ◦ d₃ = d₂;

d₃ ◦ d₁ = d₃; d₃ ◦ d₂ = d₃; d₃ ◦ d₃ = d₃.

Вправа 2. На множині вправи 1 задати операцію ○ так, щоб алгебра <Т, ○, t_i>, де t_i  Т, була б моноїдом.

Розв’язок: Нехай T = {d₁, d₂, d₃}. Якщо задати операцію ○ як у прикладі до вправи 1, то виділеного елемента t_i  Т, що має властивість d_i ◦ d_j = d_j ◦ d_i = d_j для кожного d_j  Т не існує. Таким чином, необхідно перевизначити операцію ○ відповідним способом. Оберемо одиницею елемент t₁. Тоді можна вимагати:

d₁ ◦ d₁ = d₁; d₁ ◦ d₂ = d₂; d₂ ◦ d₁ = d₂;

d₃ ◦ d₁ = d₃; d₁ ◦ d₃ = d₃ .

Залишається справедливим:

d₂ ◦ d₂ = d₂; d₃ ◦ d₃ = d₃.

Для задання операції ○ на елементах d₂ та d₃ важливо тільки дотримуватися властивості асоціативності і тому приймаємо

d₂ ◦ d₃ = d₂; d₃ ◦ d₂ = d₃ .

Легко перевірити, що задана операцію асоціативна, що є елемент, який виконує роль одиниці, і тому < Т, ○,d₁ > - це моноїд.

Вправа 3. На множині Т вправи 1 задати операцію ○ так, щоб алгебра < Т, ○, d_i^-1 >, де d_j  Т - одиниця; ^-1 - знак оберненого елемента, була б групою.

Розв’язок: Нехай T = {d₁, d₂, d₃}. Очевидно, алгебраїчна система попереднього прикладу не є групою, оскільки не кожний елемент множини Т має обернений.

Спробуємо перевизначити операцію ○ так, щоб за одиниці t₁ елементи t₂ та t₃ мали обернені. Нехай d₃ ◦ d₂ = d₁, d₂ ◦ d₃ = d₁; d₂ ◦ d₂ = d₃; d₃ ◦ d₃ = d₂. Залишаємо без зміни інші рядки визначення операції ○ попереднього прикладу.

Очевидно, що система < Т₁, ○, d₁ > - група. Дійсно, є одиниця d₁ та обернені елементи для кожного елемента множини Т( d₁^-1 = d₁, d₂^-1 = d₃, d₃^-1 = d₂). Легко пересвідчитись в асоціативності операції ○.

Вправа 5. Нехай задана множина T = {t₁, t₂, t₃, t₄}. Встановити тип алгебраїчної системи < Т₁, ○ >, де ○ - операція на множині Т, задана однією з наведених таблиць

1) <1;0> 2) < 2; 0>

	t1	T2	t3	T4			t1	T2	t3	T4
	t2	T3	t4	t1		t1	t1	T2	t3	T4
	t3	T4	t1	t2		t2	t2	T2	t3	T4
	t4	T1	t2	t3		t3	t3	T3	t3	T3
T4	t1	T2	t3	t4		t4	t4	T2	t3	T4

3) < 2; 0 > 4) <2;0>

	t1	t2	t3	t4			t1	t2	t3	t4
t1	t2	t2	t3	t1		t1	t1	t2	t3	t4
t2	t1	t3	t3	t2		t2	t2	t3	t1	t4
t3	t1	t2	t1	t3		t3	t3	t1	t4	t1
t4	t1	t2	t3	t4		t4	t4	t2	t1	t2

Вправа 6. Графіки двох відношень Т₁ та Т₂ на декартовім добутку R₁  R₂  R₃  R₄  R₅  R₆, де R₁ - множина прізвищ студентів; R₂ - множина студентських груп; R₃ – множина назв дисциплін, які вивчаються; R₄ – множина прізвищ викладачів; R₅ – множина оцінок; R₆ – множина дат, задані відповідно такими таблицями:

R1	R2	R3	R4	R5	R6
Коміренко	ІА-02	ОДМ	Теленик	5	08. 01. 03
Сергієнко	ІА-02	Фізика	Філіпович	4	10. 07. 03
Буров	ІА-02	Технологія	Юрчук	3	11. 06. 03

R1	R2	R3	R4	R5	R6
Коміренко	ІА-02	ОДМ	Теленик	5	08. 01. 03
Сергіенко	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	5	10. 06. 03
Білецький	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	4	10. 06. 03
Гриша	ІА-02	АМП	Малюков	3	01. 06. 03

Необхідно задати за допомогою таблиць відношення Т₁ ∩ Т₂, Т₁  Т₂, Т₁\ Т₂, Т₁  (Т₂ \ (Т₁ ∩ Т₂ )) та дати їх змістовну інтерпретацію.

Розв’зок:

Т₁ ∩ Т₂:

R1	R2	R3	R4	R5	R6
Коміренко	ІА-02	ОДМ	Теленик	5	08. 01. 03

Т₁  Т₂:

R1	R2	R3	R4	R5	R6
Коміренко	ІА-02	ОДМ	Теленик	5	08. 01. 03
Сергієнко	ІА-02	Фізика	Філіпович	4	10. 07. 03
Буров	ІА-02	Технологія	Юрчук	3	11. 06. 03
Сергіенко	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	5	10. 06. 03
Білецький	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	4	10. 06. 03
Гриша	ІА-02	АМП	Малюков	3	01. 06. 03

Т₁\ Т₂:

R1	R2	R3	R4	R5	R6
Сергієнко	ІА-02	Фізика	Філіпович	4	10. 07. 03
Буров	ІА-02	Технологія	Юрчук	3	11. 06. 03

Т₁  (Т₂ \ (Т₁ ∩ Т₂ )):

R1	R2	R3	R4	R5	R6
Коміренко	ІА-02	ОДМ	Теленик	5	08. 01. 03
Сергієнко	ІА-02	Фізика	Філіпович	4	10. 07. 03
Буров	ІА-02	Технологія	Юрчук	3	11. 06. 03
Сергіенко	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	5	10. 06. 03
Білецький	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	4	10. 06. 03
Гриша	ІА-02	АМП	Малюков	3	01. 06. 03

Вправа 7. Яке відношення було б здатним служити універсальною множиною для виконання операції доповнення над відношеннями Т₁ та Т₂ вправи 6.

Розв’зок:

R1	R2	R3	R4	R5	R6
Коміренко	ІА-02	ОДМ	Теленик	5	08. 01. 03
Сергієнко	ІА-02	Фізика	Філіпович	4	10. 07. 03
Буров	ІА-02	Технологія	Юрчук	3	11. 06. 03
Сергіенко	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	5	10. 06. 03
Білецький	ІА-02	ЕОМ	Богатирьов	4	10. 06. 03
Гриша	ІА-02	АМП	Малюков	3	01. 06. 03

Вправа 15. Встановити властивості операцій та тип алгебраїчної системи <С, +, •>, де с  С має вигляд x + iy, i =  -1, x та y - раціональні числа. Операції визначаються так:

(x₁ + i y₁) + (x₂ + i y₂) = (x₁ + x₂ ) + i ( y₁+ y₂);

(x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = (x₁ x₂ - y₁ y₂) + i (x₁ y₂+ y₁ x₂).

Розв’зок:

(x₁ + i y₁) + (x₂ + i y₂) = (x₁ + x₂ ) + i ( y₁+ y₂) - асоціативність

(x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = (x₁ x₂ - y₁ y₂) + i (x₁ y₂+ y₁ x₂) - дистрибутивність

<С, +, •> - кільце.

Вправа 20. Доповнити носій алгебри із вправи 10 теми 2.1 таким способом, щоб одержати множину, на якій визначені операції додавання, множення, віднімання.

Розв’зок:

Носій алгебри – Z. На цій множині визначені операції додавання, віднімання і множення. Отже носій не потребує ніякого доповнення. Множина – {Z}.