Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Державний вищий навчальний заклад

Приазовський державний технічний університет

Факультет інформаційних технологій

Кафедра автоматизації технологічних процесів і виробництв

Методичні вказівки

щодо виконання лабораторної роботи № 1

з дисципліни “Теорія автоматичного керування”

для студентів напряму підготовки 6.050202

“Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”

денної та заочної форми навчання

Дослідження перехідних функцій типових ланок

Укладач:

ст.викл. Ісаєв А.Б.

Затверджено:

на засідвнні кафедри АТПіВ

“01.01.2012 р., протокол №1

Зів.кафедри О.І.Сімкін

Погоджено:

Навчально методичною комісією

кафедри АТПіВ

“01.01.2012 р., протокол №1

Голова комісії Л.О.Добровольська

Маріуполь

2011 р.

УДК 62-52 (076.5)

Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи № 1 по дисципліні “Теорія автоматичного керування” для студентів напряму підготовки 6.050202 “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”, форма навчання денна/заочна/прискорена. //Уклав А.Б.Ісаєв.-Маріуполь: ПДТУ, 2012.-36с.

Укладач ст. викладач А.Б Ісаєв.

Рецензенти: ст. викладач С.П. Сокол

Відповідальний за випуск: зав. кафедрою АТПіП

Сімкін О.І.

Лабораторная работа № 1

Исследование переходных функций и кривых разгона типовых звеньев

Цель и задачи работы

Изучить свойства типовых звеньев их временные характеристики и их математическое описание. Освоить приемы исследования временных характеристик звеньев с использованием ЭВМ.

1. Теоретические сведения

Перед выполнением лабораторной работы необходимо ознакомиться со свойствами отдельных типовых звеньев. Для этого использовать конспект лекций, учебную литературу, настоящие методические указания.

В литературе приводятся различные списки типовых звеньев. Их количество может меняться от 5 до 17 и более. В данной лабораторной работе ограничимся рассмотрением таких звеньев, как:

• безинерционное (пропорциональное);

• инерционное 1-го порядка (апериодическое);

• инерционное 2-го порядка (апериодическое);

• инерционное 2-го порядка (гранично-апериодическое);

• инерционное 2-го порядка (колебательное);

• инерционное 2-го порядка (консервативное);

• идеальное интегрирующее;

• реальное интегрирующее;

• идеальное дифференцирующее;

• реальное дифференцирующее.

Если говорить об элементарных звеньях, то можно ограничиться тремя звеньями: пропорциональным, идеальным интегрирующим и идеальным дифференцирующим. Они отражают основные математические зависимости и динамику физических процессов в природе и технике. Другие типовые звенья могут быть получены из элементарных в результате различных комбинаций их последовательных, параллельных и встречно-параллельных соединений. По большому же счету, пропорциональное звено само также может быть получено в результате последовательного соединения идеального интегрирующего и идеального дифференцирующего звеньев. Это является иллюстрацией того, что в природе нет ничего статического, а устойчивое состояние на самом деле является состоянием динамического равновесия.

Все рассматриваемые звенья могут быть описаны обобщенным дифференциальным уравнением второго порядка вида:

(1)

В таблице 1 приведены значения коэффициентов уравнения (1) для различных звеньев. В приложении 1 приведены дифференциальные уравнения для каждого типового звена. Дифференциальные уравнения для интегрирующих звеньев получаются в результате интегрирования уравнения (1).

Таблица 1

Значения коэффициентов в дифференциальных уравнениях типовых звеньев

№	Наименование звена	a2	a1	a0	b1	b0	Примечание
1	Безинерционное (пропорциональное)	0	0	1	0	K
2	Инерционное 1-го порядка (апериодическое)	0	T	1	0	K
3	Инерционное 2-го порядка (апериодическое)			1	0	K
4	Инерционное 2-го порядка (гранично-апериодическое)			1	0	K
5	Инерционное 2-го порядка (колебательное)			1	0	K
6	Инерционное 2-го порядка (консервативное)		0	1	0	K
7	Идеальное интегрирующее	0	1	0	0
8	Реальное интегрирующее	T	1	0	0
9	Идеальное дифференцирующее	0	0	1	K	0
10	Реальное дифференцирующее	0	T	1	K	0

Передаточная функция звена – это зависимость между выходной и входной величиной записанной в операторной форме.

Из (1) может быть получено обобщенное выражение для передаточной функции типовых звеньев. Для этого уравнение (1) записывается в операторной форме:

(2)

Откуда получаем передаточную функцию:

(3)

В приложении 2 приведены передаточные функции для каждого типового звена.

Переходная функция звена показывает реакцию звена на единичное входное воздействие при условии, что до этого звено находилось в установившемся состоянии.

Для получения переходной функции звена на вход звена необходимо подать единичную функцию (функция Хевисайда) рисунок 1:

(4)

Уравнение переходной функции может быть получено аналитически в результате решения дифференциального уравнения (1) с учетом коэффициентов таблицы 1 для конкретного звена при воздействии на входе (4) и нулевых начальных условиях. Уравнения переходных функций для каждого типового звена приведены в приложении 3.

Также переходная функция быть получено аналитически операторным методом из передаточной функции (3). Единичная функция в операторной форме будет иметь вид:

(5)

Запишем уравнение (3) в виде:

(6)

Подставив (5) в (6) получим:

(7)

Далее выполним обратное преобразование Лапласа и получим уравнение переходной функции:

(8)

В приложении 5 приведен пример вывода операторным методом переходной функции инерционного звена 1-го порядка (апериодического).

График переходной функции может быть получен и численным методом. Для этого дифференциальное уравнение необходимо записать в разностном виде. При этом производные записываются в виде отношения конечных разностей. Например, производная первого порядка для момента времени представляется в виде:

(9)

А производная второго порядка записывается и преобразовывается к виду:

(10)

Производные вида (9) и (10) подставляются в исходное дифференциальное уравнение. Затем полученное уравнение преобразовывается так, чтобы из него выразить выходную величину с наибольшим индексом времени . Например, или . В приложении 4 приведены дифференциальные уравнения звеньев, записанные в разностной форме, после преобразования. Также в нем приведены начальные условия для выходной величины, предшествующей моменту времени или .

Расчет по уравнениям необходимо выполнять с небольшим шагом времени (≤ 1 секунды). Входную величину необходимо представить в виде единичного скачка. В нулевой момент времени входная величина должна быть равна нулю. Все стальные последующие значения входной величины принять равными единице. В приложениях 6-13 приведены примеры построения переходных характеристик типовых звеньев.