Міністерство освіти і науки України
Приазовський державний технічний університет
Ісаєв А.Б.
Методичні вказівки
до виконання лабораторної роботи № 2
по дисципліні “Теорія автоматичного керування”
для студентів напряму підготовки 6.050202
“Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”
Дослідження імпульсних характеріськик типових ланок
Маріуполь 2010
Приазовський державний технічний університет
Кафедра автоматизації технологічних процесів та виробництв
Ісаєв А.Б.
Методичні вказівки
до виконання лабораторної роботи № 1
по дисципліні “Теорія автоматичного керування”
для студентів напряму підготовки 6.050202
“Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”
Дослідження імпульсних характеріськик типових ланок
Маріуполь 2010
УДК 62-52 (076.5)
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи № 2 по дисципліні “Теорія автоматичного керування” для студентів напряму підготовки 6.050202 “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”, форма навчання денна/заочна/прискорена. //Уклав А.Б.Ісаєв.-Маріуполь: ПДТУ, 2010.-54с.
Рецензенти: ст. викладач С.П. Сокол
Укладач ст. викладач А.Б Ісаєв.
Відповідальний за випуск: Сімкін О.І.
Затверджено на засіданні кафедри АТПіП
Протокол № 13 від 22 березня 2010 р.
Рекомендовано методичною комісією факультету ІТ
Протокол № 1 від 1 вересня 2010 р.
Декан факультету, к.е.н Верескун М. В.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ИМПУЛЬСНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТ
Изучить свойства типовых звеньев их временные характеристики и их математическое описание. Освоить приемы исследования временных характеристик звеньев с использованием ЭВМ.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Перед выполнением лабораторной работы необходимо ознакомиться со свойствами отдельных типовых звеньев. Для этого использовать конспект лекций, учебную литературу, настоящие методические указания.
В литературе приводятся различные списки типовых звеньев. Их количество может меняться от 5 до 17 и более. В данной лабораторной работе ограничимся рассмотрением таких звеньев, как:
безинерционное (пропорциональное);
инерционное 1-го порядка (апериодическое);
инерционное 2-го порядка (апериодическое);
инерционное 2-го порядка (гранично-апериодическое);
инерционное 2-го порядка (колебательное);
инерционное 2-го порядка (консервативное);
идеальное интегрирующее;
реальное интегрирующее;
идеальное дифференцирующее;
реальное дифференцирующее.
Если говорить об элементарных звеньях, то можно ограничиться тремя звеньями: пропорциональным, идеальным интегрирующим и идеальным дифференцирующим. Они отражают основные математические зависимости и динамику физических процессов в природе и технике. Другие типовые звенья могут быть получены из элементарных в результате различных комбинаций их последовательных, параллельных и встречно-параллельных соединений. По большому же счету, пропорциональное звено само также может быть получено в результате последовательного соединения идеального интегрирующего и идеального дифференцирующего звеньев. Это является иллюстрацией того, что в природе нет ничего статического, а устойчивое состояние на самом деле является состоянием динамического равновесия.
Все рассматриваемые звенья могут быть описаны обобщенным дифференциальным уравнением второго порядка вида:
(1)
В таблице 1 приведены значения коэффициентов уравнения (1) для различных звеньев. В приложении 1 приведены дифференциальные уравнения для каждого типового звена. Дифференциальные уравнения для интегрирующих звеньев получаются в результате интегрирования уравнения (1).
Таблица 1
Значения коэффициентов в дифференциальных уравнениях типовых звеньев
№ |
Наименование звена |
a2 |
a1 |
a0 |
b1 |
b0 |
Примечание |
1 |
Безинерционное (пропорциональное) |
0 |
0 |
1 |
0 |
K |
|
2 |
Инерционное 1-го порядка (апериодическое) |
0 |
T |
1 |
0 |
K |
|
3 |
Инерционное 2-го порядка (апериодическое) |
|
|
1 |
0 |
K |
|
4 |
Инерционное 2-го порядка (гранично-апериодическое) |
|
|
1 |
0 |
K |
|
5 |
Инерционное 2-го порядка (колебательное) |
|
|
1 |
0 |
K |
|
6 |
Инерционное 2-го порядка (консервативное) |
|
0 |
1 |
0 |
K |
|
7 |
Идеальное интегрирующее |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
8 |
Реальное интегрирующее |
T |
1 |
0 |
0 |
|
|
9 |
Идеальное дифференцирующее |
0 |
0 |
1 |
K |
0 |
|
10 |
Реальное дифференцирующее |
0 |
T |
1 |
K |
0 |
|
Передаточная функция звена – это зависимость между выходной и входной величиной записанной в операторной форме.
Из (1) может быть получено обобщенное выражение для передаточной функции типовых звеньев. Для этого уравнение (1) записывается в операторной форме:
(2)
Откуда получаем:
(3)
В приложении 2 приведены передаточные функции для каждого типового звена.
Идеальная импульсная характеристика показывает реакцию звена на идеальное импульсное входное воздействие при условии, что до этого звено находилось в установившемся состоянии.
Для получения идеальной импульсной характеристики звена на вход звена необходимо подать дельта функцию (функция Дирака) рисунок 1б:
(4)
Уравнение идеальной импульсной характеристики может быть получено аналитически в результате решения дифференциального уравнения (1) с учетом коэффициентов таблицы 1 для конкретного звена при воздействии на входе (4) и нулевых начальных условиях. Уравнения идеальных импульсных характеристик для каждого типового звена приведены в приложении 4.
Также идеальная импульсная характеристика может быть получено аналитически операторным методом из передаточной функции (3). Дельта функция в операторной форме будет иметь вид:
(5)
Запишем уравнение (3) в виде:
(6)
Подставив (5) в (6) получим:
(7)
Далее выполним обратное преобразование Лапласа и получим уравнение идеальной импульсной характеристики:
(8)
В приложении 6 приведен пример вывода операторным методом идеальной импульсной характеристики реального дифференцирующего звена.
График идеальной импульсной характеристики может быть получен и численным методом. Для этого дифференциальное уравнение необходимо записать в разностном виде. При этом производные записываются в виде отношения конечных разностей. Например, производная первого порядка для момента времени представляется в виде:
(9)
А производная второго порядка записывается и преобразовывается к виду:
(10)
Производные вида (9) и (10) подставляются в исходное дифференциальное уравнение. Затем полученное уравнение преобразовывается так, чтобы из него выразить выходную величину с наибольшим индексом времени . Например, или . В приложении 5 приведены дифференциальные уравнения звеньев, записанные в разностной форме, после преобразования. Также в нем приведены начальные условия для выходной величины, предшествующей моменту времени или .
Расчет по уравнениям необходимо выполнять с небольшим шагом времени (≤ 1 секунды). Входную величину необходимо представить в виде короткого импульса (1 период расчета). Площадь импульса должна быть равна единице. Для этого нужно в нулевой момент времени подать входную величину ноль. Затем в следующий момент времени подать импульс амплитудой . Все остальные последующие значения входной величины принять равными нулю. В приложениях 7-14 приведены примеры построения идеальных импульсных характеристик типовых звеньев.
Чтобы получить реальную импульсную характеристику, необходимо на вход звена подать реальный импульс с амплитудой отличной от единицы и длительностью несколько единиц времени. Для этого нужно в нулевой момент времени подать входную величину ноль. Затем в следующий момент времени подать входную величину несколько единиц. Ее, в зависимости от параметров звена, необходимо выдержать примерно 10…30 шагов расчета. Все остальные последующие значения входной величины принять равными нулю. В приложениях 15-22 приведены примеры построения реальных импульсных характеристик типовых звеньев.
Между единичной функцией и дельта функцией есть взаимосвязь:
(11)
(12)
Аналогичная связь существует между переходной функцией и идеальной импульсной характеристикой:
(13)
(14)
Уравнения переходных функций для каждого типового звена приведены в приложении 3.