3. Концентрация электронов и дырок в полупроводнике.

3.1. Концентрация электронов в п/п.

Концентрация электронов равна:

Интегрирование производится по зоне проводимости. В п/п интегрирование можно распространить до ∞, т.к. f(E) при E > E_F ,быстро спадает с ростом энергии, а g(E), хоть и растет, но медленно (по степенному закону).

Тогда концентрация электронов будет равна:

Если уровень Ферми расположен глубоко в запрещенной зоне, то (E-E_F) >> kT и электронный газ зоны проводимости является невырожденным (f(E) = C·exp( -E/kT)). В этом случае полупроводник называется невырожденным.

Полная функция распределения электронов по энергиям невырожденного газа примет вид:

Из (13) следует, что распределение частиц по энергиям ~ . Оно зависит от температуры газа. Для невырожденного газа B(E) достигает максимума при E = kT/2 и быстро спадает при E > kT.

Проинтегрируем и получим (для невырожденного п/п):

где N_C – эффективное число (плотность) состояний, приведенных ко дну зоны проводимости или, иначе, число состояний зоны проводимости.

Для невырожденного полупроводника величина – (E_c – E_F) отрицательная, и чем меньше уровень Ферми (т.е. чем меньше E_F), тем меньше электронов в зоне проводимости.

3.2. Концентрация дырок в п/п.

Вероятность того, что состояние с энергией E не занято электроном, равна:

Газ дырок валентной зоны будет невырожденным, если (E_F – E) >> kT. Тогда

Из (18) видно, что вероятность заполнения (заселенность) состояний валентной зоны дырками убывает экспоненциально вглубь валентной зоны. Полное число дырок (концентрация) p получим, проинтегрировав f_p(E)g(E)dE по энергии:

где – число состояний валентной зоны.

Если условие невырожденности того или иного газа не выполняется, то вычисление интегралов такого типа (12) и (19) для концентрации частиц проводят численным методом.

4. Положение уровня Ферми и концентрация свободных носителей заряда в собственных полупроводниках.

Положение уровня Ферми в собственных п/п можно найти из условия равенства количества электронов в зоне проводимости n_i количеству дырок в валентной зоне p_i:

где индекс i – обозначает принадлежность к собственному п/п.

Приравняв n (выр.16) к p (выр.19), и используя E_Fi – E_V = E_g – (E_c – E_Fi), получим:

Отсюда

или

За счет того, что m_p ≠ m_n , уровень Ферми несколько сдвинут относительно середины запрещенной зоны. Если бы m_p = m_n , то уровень Ферми был бы расположен точно посередине запрещенной зоны. Как видно из (21), при T=0 он расположен посередине запрещенной зоны. При T > 0 и m_p > m_n уровень Ферми сдвигается вверх. Поскольку, как правило, разница между m_p и m_n небольшая, то этим сдвигом часто пренебрегают. Тогда E_c – E_Fi = E_Fi – E_V = E_g/2.

Получим концентрацию свободных носителей в собственном п/п:

Отсюда видно, что концентрация носителей заряда в собственном п/п определяется шириной запрещенной зоны (E_g) и температурой. Причем зависимость n_i (или p_i) от температуры очень резкая. Так, для E_g = 0,66эВ, увеличение температуры от 100 до 600К приводит к повышению n_i на 17 порядков.

Прологарифмируем (22):

Так как зависит от температуры гораздо слабее, чем 1/T, то график зависимотсти ln(n_i) от 1/T представляет собой приблизительно прямую линию с угловым коэффициентом – E_g/2k.