Федеральное агентство по образованию рф гоу впо “Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина”

Кафедра ТОТ

Лабораторная работа

«Исследование процесса нестационарной теплопроводности на численной имитационной математической модели»

Выполнил: студент гр. III-2_xx

Лашин А.О.

Проверил: Солнышкова Ю.С.

Иваново 2008

Цель работы:

а) применение численных (имитационных) математических моделей для исследования нестационарной теплопроводности;

б) изучение технологии матеметического моделирования на примере расчета режимов нагрева и охлаждения твердых тел простейшей формы при граничных условиях I, II и III рода.

Задание.

На численной математической модели рассчитать температурное поле для бесконечного цилиндра при граничных условиях 1, 2 и 3 рода. Проанализировать изменение температуры тела по сечению тела и во времени.

, Вт/(м·К)	a, м2/с	R, м	T0, 0C	к, с	Г.У.	Параметры
30	10-5	0,1	20	600	I	Tw=1000 0C
30	10-5	0,1	20	600	II	q=10000 Вт/м2
30	10-5	0,1	20	600	III	Tf=1000 0C =300 Вт/( м2·К)

Математическая формулировка задачи.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для тел простейшей формы, к которым относят неограниченную пластину, неограниченный цилиндр и шар, имеет вид:

или при допущении независимости теплофизических коэффициентов (с’ и ) от температуры и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v=0) данное уравнение можно записать следующим образом:

При симметричном нагреве: для пластины R=d/2, где d – толщина пластины;

для цилиндра R=d_ц/2=r_ц, где r_ц – радиус цилиндра;

для шара R=d_ш/2=r_ш, где r_ш – радиус шара.

Г раничное условие на внутренней границе при x=0 является следствием симметрии температурного поля:

И з (2) при x=0 имеем:

В безразмерной форме ДУ теплопроводности примет вид:

где Fo=a/R₂ – критерий Фурье; X=x/R – безразмерная координата; R – размер расчетной области;  - безразмерная температура.

П ри граничных условиях III рода:

где Bi = R/ - критерий Био.

Основные формулы явной разностной схемы.

а) внутренняя граница, i=0:

б) внутренние узлы, i=1,2,…,N-1:

где I_k-=0,5(k-1)/(i-0,5); I_k+=0,5(k-1)/(i+0,5);

в ) внешняя граница, i=N (ГУ III рода):

В данных формулах k – коэффициент формы; f = a/x₂ – разностный критерий Фурье; b = x/ - разностный критерий Био.

Явная разностная схема устойчива при ГУ III рода, если:

Выбор шагов по пространству x и времени .

 определяем из условия устойчивости (12):

П ринимаем  = 1 с.

Результаты моделирования:

граничные условия 1 рода
	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,1
0	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20	1000
100	171,2	180,22	207,51	253,64	319,06	403,55	505,61	622,01	747,71	876,16	1000
200	509,67	516,59	537,09	570,36	615,1	669,53	731,43	798,25	867,19	935,38	1000
300	723,71	727,68	739,44	758,47	783,96	814,83	849,78	887,33	925,92	963,99	1000
400	844,96	847,19	853,8	846,49	878,81	896,14	915,76	936,82	958,47	979,81	1000
500	913,03	914,28	917,99	923,98	932,02	941,74	952,74	964,56	976,7	988,67	1000
600	951,21	951,91	953,99	957,36	961,86	967,82	973,49	980,12	986,93	993,64	1000
граничные условия 2 рода
	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,1
0	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
100	20,84	20,91	21,13	21,53	22,15	23,03	24,24	25,82	27,82	30,29	33,23
200	25,3	25,43	25,85	26,55	27,54	28,84	30,47	32,42	34,72	37,36	40,36
300	31,2	31,35	31,82	32,59	33,67	35,07	36,79	38,83	41,19	43,88	46,89
400	37,45	37,61	38,08	38,87	39,97	41,39	43,13	45,19	47,57	50,26	53,28
500	43,77	43,93	44,41	45,2	46,31	47,74	49,48	51,54	53,92	56,26	59,64
600	50,12	50,28	50,75	51,55	52,66	54,08	55,83	57,89	60,27	62,97	65,99
граничные условия 3 рода
	0	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,1
0	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
100	41,67	43,44	49,93	58,68	73,53	94,48	122,56	158,66	203,34	256,64	318,08
200	142,26	145,14	153,81	168,28	188,6	214,78	246,76	284,41	327,47	375,54	428,1
300	256,51	259,26	267,49	281,14	300,08	324,14	353,11	386,69	424,54	466,24	511,34
400	360,07	362,49	369,71	381,66	398,21	419,19	444,35	473,43	506,11	542,01	580,74
500	450,06	452,15	458,38	468,69	482,96	501,04	522,71	547,73	575,83	606,69	639,96
600	527,56	529,35	534,71	543,58	555,85	571,39	590,01	611,52	635,66	662,17	690,74

Вывод:

1. При нагреве (охлаждении) при граничных условиях 1 рода выделяют три режима: начальный период (велико влияние начальных условий), установившийся (регулярный) режим (влияние начальных условий можно пренебречь) и режим термодинамического равновесия;

2. В случае нагрева при граничных условиях 2 рода наблюдаются два участка: начальных режим (велико влияние начальных условий) и квазистационарный режим;

3. При граничных условиях 3 рода наблюдаются три режима нагрева: начальный период (велико влияние начальных условий), регулярный режим (не учитывается влияние начальных условий) и режим теплового равновесия.