МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н. Э. БАУМАНА
Факультет «ИНФОРМАТИКА И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ»
Кафедра ИУ-3
Методические указания к лабораторной работе №4 по курсу
«Цифровая обработка сигналов»
Дискретные стационарные случайные процессы.
Составил доц. Герман Д. Я.
2010 г.
Цель работы. Ознакомить студентов с методами создания стационарных случайных процессов и средствами определения статистических характеристик случайных процессов пакета MATLAB и его приложения SIMULINK.
1. Работа со случайными процессами в пакете MATLAB
1.1. Генераторы случайных процессов.
В пакете MATLAB имеется около сорока генераторов случайных процессов для различных законов распределения. Описания генераторов приведено в HELP в разделе Statistics Toolbox/Function-By Gategory/Probability Distributions/Random Namber Generator. В лабораторной работе используются два генератора:
-
генератор процесса с нормальным
распределением,
Плотность вероятности такого процесса:
- генератор процесса
с равномерным распределением.
Плотность вероятности такого процесса:
Рассмотрим вначале процессы с нормальным распределением.
Использование генератора в формате
(1)
выдает непрерывное
случайное число, имеющее нормальный
закон распределения, математическое
ожидание -
и
стандарт
.
Повторное обращение к (1) выдаст следующее
случайное число и т.д. Все числа
некоррелированы между собой.
Использование генератора в формате
(2)
при
выдаст реализацию нормального процесса
из
отсчетов. Повторное обращение к (2) выдаст
другую реализацию. Все точки реализации
некоррелированы. Такая реализация
называется гауссовым шумом.
Когда запланирована
обработка нескольких реализаций,
выбирается
.
Образуется матрица из
строк. Каждая строка представляет собой
реализацию нормального случайного
процесса.
Выбираем
(3)
Заметим, что у этих генераторов есть дефект: все реализации имеют одинаковые начальные условия, поэтому накапливать информацию, запуская несколько реализаций не имеет смысла. Поэтому надо запускать генератор один раз, сохраняя результат в матрицу заранее рассчитанной требуемой размерности, которая будет содержать все выборки шума.
Можно просмотреть вид реализации командой
(4)
1.2. Определение плотности вероятности
Статистическое определение плотности вероятности можно выполнить с помощью построения гистограммы командой
(5)
Команда разбивает диапазон существования реализации на интервалы и подсчитывает число попаданий случайного процесса в каждый интервал. Высота каждого столбика гистограммы пропорциональна числу попадания в интервал. Видно, что гистограмма похожа на нормальное распределение. Она будет более похожа, если увеличить число точек в реализации. Научное определение «похожести» проводится с помощью проверки гипотезы о принадлежности точек реализации нормальному закону. В этой работе проверки гипотезы не требуется.
Некоторым инженерным
подтверждением нормальности случайного
процесса является тот факт, что практически
все точки случайного процесса отклоняются
от математического ожидания не более
чем на три стандарта (правило трех сигм).
Точнее с вероятностью 0.997. Для теоретического
значения
это выполняется. Проверьте, когда найдете
статистическое значение сигма.
1.3. Определение моментных характеристик
Определение математического ожидания
(6)
Определение дисперсии
(7)
Определение стандарта или корня квадратного из дисперсии
(8)
Полученные величины имеют статистический характер, они случайны, доверительный интервал их отклонения от теоретического значения уменьшается с увеличением длины реализации. Оцените это экспериментально.
Для последующей обработки, особенно для вычисления спектра и спектральной плотности полезно удалить тренд – постоянную составляющую - математическое ожидание.
(9)
1.4. Определение спектра и спектральной плотности
Определение спектра
(10)
Прокомментируем результат. Определен спектр гауссового шума, все отсчеты которого некоррелированы. Теоретически такой процесс имеет постоянную спектральную плотность и примерно постоянный спектр любой реализации. Получили сильно изрезанный график, поскольку в соответствии с алгоритмом БПФ вычислено 1000 гармоник спектра по 1000 отсчетам гауссового шума и каждый отсчет вошел в результат. Для вывода более «плавного» спектра рекомендуется выбрать количество отсчётов 100000.
Так как каждая реализация случайна, спектр каждой реализации тоже случаен. Спектральная плотность является осреднением квадрата мощности спектров. Один оз способов вычисления спектральной плотности следующий
(11)
где 8 – принятый порядок модели. w-значение частоты, для которой вычисляется S.
Получили примерно постоянную спектральную плотность. Это можно считать подтверждением того, что генератор генерирует гауссовый шум.
Обратите внимание
на диапазон изменения частоты. Выбирается
один отсчет в одну относительную единицу
времени. Частота Котельникова равна
единице или
.
Диапазон изменения частоты на графике
равен частоте Найквиста или
.