Теорема Стокса

В движущейся жидкости рассмотрим вихревое поле и выделим в нем малый замкнутый контур со сторонами dx и dy (рис. 2.5). Пусть в начале координат скорости будут и . Запишем выражение для эле-ментарной циркуляции по этому контуру, имея в виду, что поток двумерный:

.

Р

Рис. 2.5

ассмотрим контур OABC. Если вдоль OA скорость , то вдоль CB ее приращение составит , и аналогично вдоль AB – . Это следует из выражения для полного дифференциала скорости, например:

.

Используем эти выражения для расчета элементарной циркуляции вдоль контура OABCO. Имеем

.

Раскрывая скобки и выполнив сокращения, получаем

Отсюда следует, что циркуляция по бесконечно малому зам-кнутому контуру равна интенсивности вихря, пронизывающего этот контур. Данный вывод легко обобщить и на случай произвольной кривой конечных размеров. Таким образом можем записать:

.

Это и есть формула Стокса, показывающая, что циркуляция по произвольному контуру равна сумме интенсивностей (напряжений) вихрей, пронизывающих поверхность, натянутую на контур.

3. Потенциальное движение жидкости

Как отмечалось ранее, условием потенциальности движения является равенство нулю вихря скорости, т. е. . Физически это означает, что движение жидкости происходит без вращения частиц. Следует отметить, что потенциальное движение играет исключительно важную роль в механике жидкости.

Потенциал скорости

Как следует из теоремы Стокса, числовые значения интенсивности вихря и циркуляции скорости по охватывающему его контуру, равны, т. е. :

С другой стороны, для потенциального потока, по определению , т. е. в потенциальном поле циркуляция по зам-кнутому контуру равна нулю.

Запишем выражения для проекций угловых скоростей:

;

;

.

Из вышесказанного следует, что для безвихревого (потенциального) движения . Следовательно, в этом случае

; ; . (3.1)

Эти соотношения позволяют существенно упростить вычисления компонент скорости , и .

Рассмотрим выражение . Его построение аналогично выражению для элементарной работы, известному из механики твердого тела. Рассмотрим, в каком случае оно является полным дифференциалом. Напомним, что если выра-жение для работы является полным дифференциалом, то силовое поле называется консервативным, или имеющим потенциал. В свое время известный ученый Клеро показал, что выражение этого типа является полным дифференциалом в случае, если обеспечивается равенство накрест взятых производ-ных. Соотношения (3.1) показывают, что взятые накрест производные для рассматриваемого выражения удовлетворяют этому требованию. Таким образом, при потенциальном движении жидкости записанное выше выражение является полным дифференциалом некоторой функции j, т. е.

. (3.2)

С другой стороны, по общему правилу полный дифференциал может быть представлен как

. (3.3)

Сопоставляя (3.2) и (3.3), получаем

; ; . (3.4)

По предложению Гельмгольца функцию j называют потен-циалом скорости.

Таким образом, всякому движению жидкости, происходящему без вращения частиц, соответствует свой потенциал ско-рости. Справедливо и обратное утверждение: если существует потенциал скорости, то движение происходит без вращения частиц, т. е. является безвихревым.

Соотношения (3.4) можно получить и другим путем. Поскольку разные подходы к одному и тому же вопросу способствуют его углубленному пониманию, то эти же соотношения получим, используя другую методику.

Как уже отмечалось, условием потенциальности течения яв-ляется . В векторной алгебре доказывается, что операция ротора над градиентом какой-либо скалярной функции тождественно равна нулю, т. е.

Сопоставляя эти соотношения, можем записать

(3.5)

что означает, что вектор скорости можно рассматривать как градиент некоторой скалярной функции j. Раскроем значения и . Имеем

;

.

Откуда, учитывая (3.5), получаем

; ; ,

т. е. вновь приходим к соотношениям вида (3.4).

При этом открытым остается вопрос о целесообразности введения понятия потенциала скорости. Однако следует иметь в виду, что одной из важнейших практических задач гидромеханики является определение сил, действующих на тело, обтекаемое потоком жидкости или газа. Решение этой задачи непосредственно связано с необходимостью расчета поля скоростей, т. е. определением проекций скоростей ( , , ) в каждой его точке. Из выражений (3.4) следует, что все три компоненты скорости могут быть вычислены, если известна лишь одна величина – потенциал скорости. Таким образом, знание потенциала скорости существенно упрощает расчет скоростного поля. Однако при этом возникает следующая проблема: как найти потенциал скорости течения.