- •Введение
- •Глава 1. Основы сопротивления материалов
- •Предмет «Сопротивление материалов»
- •Объект курса
- •Внешние силы
- •Основные понятия и гипотезы (допущения)
- •Внутренние силы и их определение. Метод сечений
- •Эпюры внутренних усилий
- •Понятие о напряжении и напряженном состоянии
- •Понятие о деформации тела и о деформации физических точек
- •Глава 2. Растяжение, сжатие бруса
- •Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука
- •Потенциальная энергия деформации
- •Анализ напряженного состояния при растяжении (сжатии)
- •Статически определимые и статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
- •Диаграмма растяжения
- •2.6. Диаграмма сжатия
- •2.7. Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
- •Глава 3. Сдвиг и кручение стержней
- •3.1. Понятие о чистом сдвиге. Напряжения и деформации при сдвиге. Закон Гука
- •Практический расчет соединений работающих на сдвиг
- •Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Напряжение в брусе круглого поперечного сечения. Условия прочности. Определение угла закручивания. Условие прочности
- •Кручение бруса прямоугольного поперечного сечения
- •Потенциальная энергия бруса при кручении
- •Кручение бруса круглого поперечного сечения за пределом упругости
- •Глава 4. Геометрические характеристики плоских сечений
- •Основные понятия
- •Статические моменты сечения
- •Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей
- •Зависимость между моментами инерции сечения при повороте осей. Главные оси и главные моменты инерции
- •Глава 5. Изгиб
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Дифференциальные зависимости между и
- •5.3. Напряжения в брусе при чистом изгибе
- •5.4. Напряжения при поперечном изгибе
- •5.5. Чистый косой изгиб
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Глава 6. Перемещения при изгибе
- •6.1. Метод Мора для определения перемещений
- •6.2. Способ Верещагина
- •Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы
- •7.1. Введение
- •7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости
- •7.3. Метод сил. Выбор основной системы
- •7.4. Канонические уравнения метода сил
- •7.5. Использование свойств симметрии при раскрытии статической неопределенности
- •7.6. Определение перемещений в статически неопределимых системах
- •Глава 8. Устойчивость равновесия деформируемых систем
- •8.1. Основные понятия
- •8.2. Дифференциальное уравнение стержня потерявшего устойчивость
- •8.3. Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой р
- •8.4. Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня
- •8.5. Пределы применимости формулы Эйлера
- •8.6. Практический метод расчета стержней на устойчивость
- •Глава 9. Элементы теории напряженного и деформированного состояния
- •9.1. Основные понятия
- •9.2. Напряжения на наклонных площадках
- •9.3. Главные оси и главные напряжения
- •9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
- •9.5. Экстремальные касательные напряжения
- •9.6. Октаэдрические площадки. Октаэдрические напряжения
- •9.7. Деформированное состояние
- •9.8. Формулы обобщенного закона Гука
- •Глава 10. Критерии пластичности и разрушения
- •10.1. Постановка вопроса
- •10.2. Условия пластичности и разрушения
- •Гипотеза пластичности Треска—Сен—Венана
- •Гипотеза пластичности Хубера—Мизеса
- •10.3. Теория пластичности и разрушения Мора
- •Глава 11. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях
- •11.1. Понятие об усталостной прочности
- •11.2. Виды циклов напряжений
- •11.3. Предел выносливости
- •11.4. Диаграмма предельных амплитуд
- •11.5. Факторы, влияющие на усталостную прочность
- •11.5.1 Концентрация напряжений
- •11.5.2 Масштабный эффект
- •11.5.3 Влияние качества обработки поверхности
- •11.6. Расчет на прочность при переменных напряжениях
Потенциальная энергия деформации
Рассмотрим процесс деформирования упруго тела с энергетической точки зрения. Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу — . В результате этой работы накапливается потенциальная энергия — . Также работа идет на сообщение скорости массе тела, т.е. кинетической энергии .
.
Если скорость неограниченно мала, т.е. процесс статический, то
.
Поскольку на пути сила меняется от до (рис. 2.5), то работа должна быть определена интегрированием по элементарным участкам пути.
Рис. 2.5
На элементарном пути работа текущей силы равна .
Очевидно, работа на перемещение численно равна площади заштрихованного треугольника, т.е. , но , тогда .
Подставляя вместо внешней силы , равной ей внутреннюю силу получим:
, (2.9)
если , то . (2.9’)
Анализ напряженного состояния при растяжении (сжатии)
Возьмем растянутый брус (рис. 2.6,а). Из него вырежем параллелепипед с гранями . На гранях этого параллелепипеда будет действовать только нормальное напряжение — . Такое напряженное состояние называется растяжением.
а) б)
Рис. 2.6
Рассечем параллелепипед наклонной плоскостью и рассмотрим равновесие одной из частей (рис. 2.6,б). Разложим вектор полного напряжения
После сокращения получим . (2.10)
, т.к.
. (2.11)
Из этих формул видно, что нормальные напряжения имеют максимальное значение при , , а касательное напряжение в поперечных сечениях отсутствует. Касательные напряжения имеют максимальные значения при .
Статически определимые и статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии
Задача называется статически определимой, если все опорные реакции, а также внутренние силовые факторы в любом сечении, можно определить только с помощью уравнений статики.
Статически неопределимые называются задачи, которые нельзя решить с помощью только уравнений статики. Дополнительные уравнения составляются из рассмотрения деформаций системы.
Назовем степенью статической неопределенности разность между числом неизвестных и числом независимых уравнений статики, которые можно составить для данной задачи.
. (2.12)
Рис. 2.7
На рис. 2.7 представлены системы: а) статически определимая, б) один раз статически неопределима , в) два раза статически неопределима .
Покажем другие системы (рис. 2.8, 2.9).
Рис. 2.8 Рис. 2.9
На данные системы наложены по одной “лишней” связи, т.е. они являются один раз статически неопределимыми.