Математические формулы

Алгебраические формулы

cosa=±Ö1-sin2a=(1-tg2a/2)/(1+tg2a/2)	sina=±Ö1/1+ctg2a=(2tga/2)/(1+tg2a/2)
cos(a b)=sinasinb cosacosb	sin(a±b)=sinacosb±sinbcosa
tg(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(tga+tgb)/(1-tgatgb)	tg(a-b)=(tga-tgb)/(1+tgatgb)
ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctga+ctgb)	ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)
sin2a=2sinacosa=(2tga)/(1+tg2a)	cos2a=cos2a-sin2a=(1-tg2a)/(1+tg2a)=2cos2a-1=1-2sin2a
tg2a=2tga/(1-tg2a) ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga	ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga
cos2a/2=1+cosa/2 cos2a=(1+cos2a)/2	sin2a/2=1-cosa/2 sin2a=(1-cos2a)/2
cosa/2=±Ö1+cosa/2	sina/2=±Ö1-cosa/2
tga/2=±Ö1-cosa/1+cosa=(sina)/(1+cosa)=(1-cosa)/sina	ctga/2=±Ö1+cosa/1-cosa=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina
sina+cosa=Ö2 cos(P/4-a)	sina-cosa=Ö2 sin(a-P/4)
cosa-sina=Ö2 sin(P/4-a)	cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2
cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2	sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2
sina-sinb=2sin(a-b)/2cos(a+b)/2	tga±tgb=(sin(a±b))/cosacosb
cosacosb=1/2(cos(a-b)+cos(a+b))	sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b))	tga=(2tga/2)/(1-tg2a/2)

cosa=±Ö1-sin2a=(1-tg2a/2)/(1+tg2a/2)	sina=±Ö1/1+ctg2a=(2tga/2)/(1+tg2a/2)
cos(a b)=sinasinb cosacosb	sin(a±b)=sinacosb±sinbcosa
tg(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(tga+tgb)/(1-tgatgb)	tg(a-b)=(tga-tgb)/(1+tgatgb)
ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctga+ctgb)	ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga)
sin2a=2sinacosa=(2tga)/(1+tg2a)	cos2a=cos2a-sin2a=(1-tg2a)/(1+tg2a)=2cos2a-1=1-2sin2a
tg2a=2tga/(1-tg2a) ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga	ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga
cos2a/2=1+cosa/2 cos2a=(1+cos2a)/2	sin2a/2=1-cosa/2 sin2a=(1-cos2a)/2
cosa/2=±Ö1+cosa/2	sina/2=±Ö1-cosa/2
tga/2=±Ö1-cosa/1+cosa=(sina)/(1+cosa)=(1-cosa)/sina	ctga/2=±Ö1+cosa/1-cosa=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina
sina+cosa=Ö2 cos(P/4-a)	sina-cosa=Ö2 sin(a-P/4)
cosa-sina=Ö2 sin(P/4-a)	cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2
cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2	sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2
sina-sinb=2sin(a-b)/2cos(a+b)/2	tga±tgb=(sin(a±b))/cosacosb
cosacosb=1/2(cos(a-b)+cos(a+b))	sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b))
sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b))	tga=(2tga/2)/(1-tg2a/2)

Тригонаметрические формулы

sin^2(a)+cos^2(a)=1; |Sin Cos Tg

tg(a)=sin(a)/cos(a); |++ -+ -+

tg(a)ctg(a)=1; |-- -+ +-

1+tg^2(a)=1/cos^2(a); |

1+ctg^2(a)=1/sin^2(a); |sin(p/2+-a)=cos(a);

|sin(p+-a)=-+sin(a);

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b); |sin(3p/2+-a)=-cos(a);

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b); |sin(2p+-a)=+-sin(a);

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b); |

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b); |cos(p/2+-a)=+-sin(a);

tg(a+b)=tg(a)+tg(b)/1-tg(a)tg(b); |cos(p+-a)=-cos(a);

tg(a-b)=tg(a)-tg(b)/1-tg(a)tg(b); |cos(3p/2+-a)=+-sin(a);

ctg(a+b)=ctg(a)ctg(b)-1/ctg(a)+ctg(b); |cos(2p+-a)=cos(a);

ctg(a-b)=ctg(a)ctg(b)+1/ctg(b)-ctg(a); |

|tg(p/2+-a)=-+ctg(a)

sin(2a)=2sin(a)cos(a); |tg(p+-a)=+-tg(a)

cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(b)=1-2sin^2(a); |tg(3p/2+-a)=-+ctg(a)

tg(2a)=2tg(a)/1-tg^2(a); |tg(2p+-a)=+-tg(a)

ctg(2a)=ctg^2(a)-1/2ctg(a); |

sin(3a)=3sin(a)-4sin^3(a); |ctg(p/2+-a)=-+tg(a)

tg(3a)=3tg(a)-tg^3(a)/1-3tg^2(a); |ctg(p+-a)=+-ctg(a)

ctg(3a)=3ctg(a)-ctg^3(a)/1-3ctg^2(a); |ctg(3p/2+-a)=-+tg(a)

|ctg(2p+-a)=+-ctg(a)

sin^2(a/2)=1-cos(a)/2; |

cos^2(a/2)=1+cos(a)/2; |

tg^2(a/2)=1-cos(a)/1+cos(a); |

ctg^2(a/2)=1+cos(a)/1-cos(a); |

tg(a/2)=sin(a)/1+cos(a)=1-cos(a)/sin(a); |

ctg(a/2)=sin(a)/1-cos(a)=1+cos(a)/sin(a);|

|

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b/2)cos(a-b/2); |

sin(a)-sin(b)=2sin(a-b/2)cos(a+b/2); |

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b/2)cos(a-b/2); |

cos(a)-cos(b)=-2cos(a+b/2)cos(a-b/2)= |

=2cos(a+b/2)cos(b-a/2); |

cos(a)+sin(b)=sqrt(2)cos(45-a); |

cos(a)-sin(b)=sqrt(2)sin(45-a); |

tg(a)+tg(b)=sin(a+b)/cos(a)cos(b); |

tg(a)-tg(b)=sin(a-b)/cos(a)cos(b); |

ctg(a)+ctg(b)=sin(a+b)/sin(a)sin(b); |

ctg(a)-ctg(b)=sin(b-a)/sin(a)sin(b); |

tg(a)+ctg(b)=cos(a-b)/cos(a)sin(b); |

tg(a)-ctg(b)=-cos(a+b)/cos(a)sin(b); |

tg(a)+ctg(a)=2/sin(2a); |

tg(a)-ctg(a)=-2ctg(2a); |

|

sin(a)sin(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b)); |

cos(a)cos(b)=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); |

sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); |

|

sin(a)=2tg(a/2)/1+tg^2(a/2); |

cos(a)=1-tg^2(a/2)/1+tg^2(a/2); |

tg(a)=2tg(a/2)/1-tg^2(a/2); |

ctg(a)=1-tg^2(a/2)/2tg(a/2);

1. Простейшие тригонометрические уравнения:

Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0.

Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).

sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим

3х - p/4 = (-1)ⁿ arcsin 1/2 + np, nÎZ.

Зх - p/4 = (-1)ⁿ p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)ⁿ p/6 + p/4 + np, nÎZ;

x = (-1)ⁿ p/18 + p/12 + np/3, nÎZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.

Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.

Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение при­мет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;

x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;

x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.