6.2. Адаптація регресійної моделі до неоднорідної сукупності

За допомогою структурних змінних можна адаптувати регресійну модель до неоднорідної сукупності. Якщо неоднорідність проявляється розшаруванням сукупності на р ізольованих класів (груп), то кожен клас розглядається як градація номінальної ознаки і тим одиницям, що належать до j-го класу, приписується структурна змінна u_j = 1, а тим, що не належать, — u_j= 0. Параметри при структурних змінних класів інтерпретуються так само, як і при градаціях текстових ознак.

Специфіка моделювання процесів у неоднорідній сукупності зумовлена своєрідністю внутрішньокласової варіації і характером взаємозв’язків. Ефекти впливу одного й того ж фактора х_і на у по класах можуть істотно різнитися. Наприклад, у вугільній промисловості виділяються класи шахт за гірничо-геологічними умовами: потужністю та нахилом залягання пластів, їх газоносністю, глибиною розробки лав тощо. Кожному типу цих природних умов відповідають певна технологічна схема і певний рівень механізації виробничих процесів. Вплив механізації на трудомісткість, скажімо, очисних робіт залежить від класу шахти. Залежність сили впливу одного фактора від рівня іншого називається взаємодією. В неоднорідних сукупностях йдеться про взаємодію факторів і специфічних умов окремих класів. Для цього використовують змінні взаємодії х_іu_j, значення яких дорівнює добутку значень відповідних ознак.

Отже, при моделюванні взаємозв’язків у неоднорідних сукупностях ознакова множина моделі включає, окрім факторних ознак х_і, два типи інструментальних змінних: структурні змінні u_j, які відображують особливості класів, і змінні взаємодії х_і u_j, що характеризують особливості взаємозв’язків в окремих класах. За рахунок цих змінних модель регресійного аналізу розширюється:

.

Зміст параметрів моделі: b_i — чистий ефект впливу і-го фактора в середньому по сукупності;

a_j — відхилення середнього значення показника-функції в j-му класі від середнього його рівня в класі, взятому за базу порівняння;

с_ij — відхилення ефекту впливу і-го фактора в j-му класі від середнього по сукупності.

Істотність параметрів a_j та с_ij свідчить про неоднорідність сукупності.

Модель такого типу Е. Маленво назвав коваріаційною. В ній поєднуються регресія на факторних ознаках метричної шкали і модель дисперсійного аналізу міжкласових відмінностей. Вона уможливлює одночасну оцінку декількох рівнянь, і така оцінка може бути точнішою, ніж оцінки покласових регресій.

Як приклад розглянемо модель продуктивності праці робітників очисних вибоїв за даними 21 шахти, з-поміж яких за гірничо-геологічними умовами 12 належать до першого класу (пологі пласти), дев’ять — до другого класу (крутопадаючі пласти). Акцентуючи увагу на особливостях коваріаційної моделі, обмежимося одним фактором — швидкістю просування лави. Первинні дані наведено в табл. 6.4.

Таблиця 6.4

Перший клас (u1 = 1)			Другий клас (u1 = 0)
Номер шахти	Швидкість просування лави, м/міс.	Продуктивність праці, т/місяць	Номер шахти	Швидкість просування лави, м/міс.	Продуктивність праці, т/міс.
1	46	139	1	36	129
2	64	183	2	28	104
3	48	165	3	43	132
4	62	175	4	25	106
5	41	147	5	30	128
6	76	192	6	32	98
7	57	149	7	21	83
8	65	158	8	17	76
9	87	190	9	29	117
10	80	175
11	48	153
12	82	198

Модель має вигляд: Y = a₀ + b₁ x₁ + a₁ u₁ + c₁₁ x₁ u₁. Параметри її наведено в табл. 6.5. Коефіцієнт детермінації показує, що 92,1% варіації продуктивності праці робітників очисних вибоїв (VAR1) пояснюється класом шахт (VAR3) і швидкістю просування лави (VAR2). Адекватність моделі підтверджується значеннями F-критерію та p-level, істотність впливу факторів — характеристиками t-критерію. На шахтах з пологими пластами (клас 1) середня місячна продуктивність праці в очисних вибоях на 57,5 т вища, ніж на шахтах, що мають крутопадаючі пласти (клас 2). Зі збільшенням швидкості просування лави на 1 м продуктивність праці зростає в середньому на 2,23 т, на шахтах першого класу ефект впливу цього фактора на 1,15 т менший за середній.

Теоретичний рівень продуктивності праці визначається так:

для шахт першого класу Y = (43,525 + 57,5) + (2,227 – 1,153) x₁,

для шахт другого класу Y = 43,525 + 2,227 x₁.

Таблиця 6.5

Regression Summary for Dependent Variable: VAR1
R= ,96 RІ= ,921 Adjusted RІ= ,907 F(3,17)=66,4 p<,000 Std.Error of estimate: 11,05
N = 21	BETA	St. Err. of BETA	B	St. Err. of B	t(17)	p-level
Intercpt			43,525	15,078	2,89	0,010
VAR2	1,31	0,296	2,227	0,504	4,42	0,000
VAR3	0,80	0,286	57,500	20,484	2,81	0,012
VAR4	–1,08	0,512	–1,153	0,548	–2,11	0,050

Аналогічно здійснюється модельна специфікація за наявнос- ті трьох і більше класів. Наприклад, ознакова множина моделі включає дві факторні ознаки (х₁, х₂) та дві структурні змінні (u₁, u₂):

Структурні змінні		Специфікація моделі
u1	u2
0	0	Y = a0 + b1 x1 + b2 x2
1	0	Y = (a0 + a1) + (b1+ c11 ) x1 + b2 x2
0	1	Y = (a0 + a2) + b1 x1 + (b2+ c22) x2
1	1	Y = (a0 + a1 + a2) + (b1+ c11 ) x1 + (b2+ c22) x2

За допомогою структурних змінних можна врахувати в моделі нетиповість певної групи одиниць, які класифікуються як аномальні. Належним до такої групи елементам сукупності приписується u_j = 1.

Якісна однорідність є однією з умов моделювання динаміки. Вона виявляється неперервністю ряду, сталістю тенденції розвитку. Проте в рядах соціально-економічних показників ця умова часом порушується; спостерігаються розриви однорідності рядів через зміни в причинному комплексі формування тенденцій. Скажімо, зміна форми власності, фінансова криза, несприятливі погодні умови тощо. Тоді ряд динаміки в точці розриву t_р поділяється на інтервали за допомогою структурної змінної u_t. У першому інтервалі (до точки розриву) змінній u_t, яка вводиться в трендову модель лінійно, приписується значення «0». У другому інтервалі (після змін) u_t = 1, 2,…, m, де m — довжина інтервалу. Значення змінної часу t, навпаки, у першому інтервалі зростають, у другому фіксуються на рівні t_р.

Наприклад, у ряду динаміки y_t, де t = 1, …, 5, зміни відбулися при t = 3. Файл первинних даних можна сформувати так:

yt	y1	y2	y3	y4	y5
t	1	2	3	3	3
ut	0	0	1	2	3

Трендова модель має вигляд:

Y = a + bt + сu_t.

Параметри при змінній часу b і структурній змінній с характеризують абсолютну швидкість динаміки відповідно до і після змін.

Якщо в межах динамічного ряду зафіксовано два і більше зрушень, то відповідно збільшується кількість введених у модель структурних змінних.