§8. Матричное представление.

8.1. Векторы состояния в матричном представлении

Вектор состояния  квантовой системы всегда можно разложить в ряд Фурье по полной системе собственных векторов оператора с дискретным спектром собственных значений. Если уравнение для собственных векторов и собственных значений оператора имеет вид:

, (8.1)

то

. (8.2)

Коэффициенты Фурье-разложения определяются формулой:

. (8.3)

Совокупность коэффициентов определяет вектор  состояния в «A– представлении». Название представления связывается с базисными векторами в разложении (8.2). Эту совокупность коэффициентов , задающую вектор состояния , представляют в виде матрицы с одним столбцом:

. (8.4)

и это есть матричное представление вектора состояния.

Сопряженный вектор состояния записывается в виде матрицы с одной строкой с комплексно сопряженными элементами :

. (8.5)

Если разложить  вектор состояния в интеграл Фурье по базисным векторам оператора с непрерывным спектром собственных значений, то коэффициенты Фурье-разложения

представляют вектор в координатном представлении ( -представление).

Бесконечную совокупность значений комплексной функции , называемую волновой функцией, можно считать непрерывной матрицей – столбцом. Аналогично,  - вектор в импульсном представлении ( - представление) изображается матрицей – столбцом:

.

Матричное представление векторов состояния облегчает в известной мере запись операторных уравнений.

8.2. Операторы физических величин в матричном представлении

Пусть в результате действия эрмитова оператора на вектор  получается вектор :

. (8.7)

Разложим векторы  и  по базисным векторам уравнения (8.1):

(8.8)

Подставив выражение (8.8) в уравнение (8.7), умножим его затем скалярно на вектор :

.

Последнее равенство легко преобразуется к виду:

.

Величину

(8.9)

называют матричным элементом оператора . Тогда уравнение (8.7) в «A – представлении» примет матричную форму:

. (8.10)

Совокупность матричных элементов полностью определяет оператор в матричном «A – представлении». Эту совокупность можно представить в виде квадратной таблицы, имеющей бесконечное число строк и столбцов. У каждого матричного элемента первый индекс (m) означает номер строки, второй (n) – номер столбца. Эта таблица называется матрицей величины (оператора ):

. (8.11)

Вычислим матричные элементы оператора в своем собственном представлении, т.е. когда базисными векторами в разложении (8.8) являются собственные векторы оператора :

. (8.12)

В этом случае

, (8.13)

т.е. отличны от нуля лишь диагональные элементы матрицы. Таким образом, оператор в своем собственном представлении изображается диагональной матрицей:

, (8.11`)

в которой диагональные элементы совпадают с собственными значениями оператора .

Эрмитовость операторов, используемых в квантовой механике в матричной форме, выражается следующим образом:

,

т.е. матрица называется самосопряженной или эрмитовой, если

. (8.14)

Матричное представление операторов легко обобщается на случай непрерывного спектра собственных значений. Для этого достаточно заменить суммы на интеграл и символ Кронекера-Вейерштрассе на -функцию Дирака.

Так матричная запись оператора в координатном представлении (своем собственном) выглядит так:

. (8.15)

Подобным образом оператор может быть записан в матричной форме в «p – представлении»:

. (8.16)