Экспоненциальный закон распределения. Распределение Больцмана

Непрерывная случайная величина c положительными значениями, плотность вероятности которой задана формулой:

, x  0, (2.23)

называется распределенной по экспоненциальному закону.

Функция распределения экспоненциального закона выражается формулой

, x  0. (2.24)

В физике вместо функции распределения (2.21) используют функцию

, x  0 , (2.25)

которая равна вероятности того, что СВ примет значение большее х. С помощью этой функции описывают распределение частиц по потенциальным энергиям в силовых полях. Такое распределение называют распределением Больцмана. Из статистического распределения Больцмана вытекает, например, барометрическая формула, определяющая распределение по высоте газа в поле тяжести Земли:

n = n_оеxp(-mgh/kT),  (2.26)

где n и n_о – концентрации молекул на высоте h и у поверхности Земли, m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура.