Отрицательные числа. Рациональные числа

Введение отрицательных чисел с реальной стороны обусловлено потребностью измерения величин, значения которых простираются в двух взаимно противоположных направлениях. С величинами этого рода мы встречаемся в нашей каждодневной практике; поэтому реальная обусловленность отрицательных чисел с методической стороны затруднений не представляет. Значительно труднее  {40}  обстоит дело с обоснованием действий над отрицательными числами. Причина всех хорошо известных методистам трудностей, связанных с этим разделом, коренится в том, что создающаяся здесь логическая ситуация является новой и непривычной для детского сознания; речь идет об определении действий, носящих привычное название (сложение, умножение), над новыми, только что введенными объектами; то обстоятельство, что то или иное действие, хотя бы оно носило старое наименование, с формальной точки зрения для новых объектов (отрицательных чисел) может быть определено совершенно произвольно, является таким новым моментом, который на данном этапе лишь с большим трудом укладывается в детском сознании. Учащийся не может отделаться от настоятельной потребности в доказательстве правила знаков при умножении, между тем как учитель не только не может дать ему такого доказательства, но, напротив, с научной точки зрения должен убедить его, что такого доказательства не может существовать, что такого доказательства нельзя искать или требовать. Наша методика в общем находит правильный выход из этого положения, стремясь убедить учащихся в целесообразности принимаемых алгеброй правил действий на базе ряда примеров, связанных с тем или иным конкретным толкованием отрицательных чисел. При этом имеется, однако, одна существенная опасность, против которой необходимо решительное предостережение: приводя подобного рода примеры, учебник, методист, учитель непременно должны сопровождать их отчетливой оговоркой, что здесь речь идет не о доказательстве того или другого правила, а лишь об иллюстрации его полезности, с непременным указанием на то, почему это правило вообще не может быть доказано. Подобным же образом и в дальнейшем,— показывая учащимся, что при установленных определениях действий над отрицательными числами сохраняют силу все те законы, которые имели место для положительных чисел, учитель обязательно должен отметить, что и это обстоятельство никак не может служить доказательством установленных определений, а является лишь иллюстрацией логической целесообразности их, подобно тому как ранее мы имели иллюстрацию их практической целесообразности. Без всех этих оговорок учащиеся не только неизменно будут  {41}  усматривать в этих иллюстрациях достаточное логическое обоснование правил действий, но получат склонность и в дальнейших разделах курса к бесплодным поискам доказательства утверждений, которые на самом деле представляют собой определения новых понятий и потому, разумеется, не могут быть доказаны (длина окружности равна пределу периметров вписанных многоугольников при неограниченном уменьшении всех сторон и т. п.).

Учение об отрицательных числах в изложении многих авторов содержит один существенный момент, который ставит его в явное противоречие с общепринятой научной концепцией этого понятия; этот момент находит себе известное отражение и в стабильном учебнике, и в программе курса алгебры. В то время как с научной точки зрения введение отрицательных чисел происходит так, что к известным уже числам, которые называются положительными (нуль занимает особое положение), присоединяются новые, называемые отрицательными,— почти все системы школьного изложения этого вопроса с большей или меньшей отчетливостью и откровенностью тяготеют к совсем иной картине этого процесса, ничего общего не имеющей с его научной трактовкой; в своей законченной форме эта картина выглядит так: к известным уже («абсолютным», беззначным) числам присоединяются новые «относительные» числа, разделяющиеся на положительные и отрицательные; с точки зрения этой концепции положительное число, рассматриваемое в алгебре, чем-то отлично от абсолютного, беззначного числа, рассматриваемого в арифметике. Особенно ярко эта тенденция сказывается при рассмотрении абсолютной величины «относительных» чисел; считается, что |5| чем-то отлично от +5, что |5| — число абсолютное, беззначное, в то время как +5 — число «относительное», положительное. Эта тенденция очень распространена, но в то время как некоторые авторы с полной определенностью явно ее высказывают и последовательно стараются провести,— у других ее наличие и действенность проскальзывают лишь между строк, становятся очевидными лишь из косвенных указаний; и лишь в очень редких случаях мы встречаем ясно и четко выраженную установку, соответствующую научной трактовке этого вопроса.  {42} 

Как и во всех других аналогичных случаях, мы полагаем, что и здесь нагромождение объектов и понятий, незнакомых науке, изобретаемых специально для нужд школьного преподавания и по необходимости ставящих это преподавание в противоречие с научной трактовкой, не только не делает предмет более доступным, но, напротив, лишь загромождает его логическую структуру без всякого методического эффекта и с необходимостью приводит к неувязкам и логическому неблагополучию. Почему не определять абсолютную величину так, как это делает наука? Зачем вводить никому не нужные «оттенки», создающие какие-то эфемерные¹, не нужные ни теории, ни практике различия между величинами 5, +5, |+5|, |–5| , с научной точки зрения ровно ничем не отличающиеся друг от друга? Ведь учащемуся же говорят, что 5 означает +5, что знак + перед положительным числом может быть опущен; как же при этом условии хотят создать впечатление, будто, кроме положительной пятерки, существует еще какая-то абсолютная пятерка, обозначаемая тем же символом 5, при всех действиях дающая тот же результат, что и положительная пятерка, и все-таки чем-то, каким-то нюансом от нее отличная? И неужели серьезно думают, что все это нагромождение, в котором никак не разберется и ученый математик, способно облегчить ребенку восприятие отрицательных чисел?²

Надо признать, что в живучести этих антинаучных традиций в значительной степени повинен термин «относительные числа», совершенно неупотребительный в науке, но до сих пор неизменно встречающийся в наших учебниках и программах. Все относительное тем самым требует чего-то абсолютного, как своего необходимого коррелета³; раз есть числа относительные, всякий, естественно, ищет чисел абсолютных. Между тем, если хотят для совокупности всех положительных и отрицательных целых и дробных чисел, включая и нуль, иметь подходящий термин, то такой термин наукою давно создан:  {43}  рациональные числа. Можно только рекомендовать пользоваться им в школе; легко объяснить детям и его происхождение: ratio — отношение; рациональные числа — числа, которые могут быть представлены в виде отношений целых чисел (часто раздающееся возражение, что ученик непременно спросит: «А какие же еще бывают нерациональные числа?» — нельзя принимать всерьез уже потому, что если ученик действительно так спросит, то это будет очень хорошо).

Следует, наконец, заметить, что введение «относительных» чисел с сохранением прежних в качестве «абсолютных», помимо того, что оно противоречит установкам математической науки и ведет к явным нецелесообразностям, искажает и диалектическую картину развития понятия числа; вместо того чтобы к тезису («положительное число») создать антитезис («отрицательное число») и затем объединить их в синтезе («рациональное число»), т. е. проделать классический путь диалектического расширения, при таком подходе одновременно утверждают тезис и антитезис, одинаково не порождаемые предшествующей линией развития, а возникающие со стороны, без всякого прямого отношения к предшествующему этапу.