- •Печатается по решению Редакционно-издательского совета Академии педагогических наук рсфср
- •От редактора
- •А.Я. Хинчин
- •Всестороннее, реальное образование советской молодежи1
- •Основные понятия математики в средней школе1
- •Понятие числа в средней школе
- •Отрицательные числа. Рациональные числа
- •Иррациональные числа
- •Комплексные числа
- •Понятие предела в средней школе Исторический очерк
- •Концепция предела в школе1
- •Методические замечания
- •Понятие функциональной зависимости в средней школе
- •О математических определениях в средней школе1
- •Определение понятий в математической науке
- •О введении новых понятий в школьном курсе математики
- •Заключение
- •О формализме в школьном преподавании математики1
- •О воспитательном эффекте уроков математики1
- •Культура мысли Правильность мышления
- •Стиль мышления
- •Моральные моменты и воспитание патриотизма
- •Честность и правдивость
- •Настойчивость и мужество
- •Воспитание патриотизма
- •Заключение
- •О так называемых «задачах на соображение» в курсе арифметики1
- •О хинчине
- •А. Я. Хинчин как преподаватель математического анализа
- •Александр яковлевич хинчин
- •Список печатных работ а. Я. Хинчина1
- •Оглавление
О математических определениях в средней школе1
Вопрос о характере, задачах и особенностях определения понятий в школьном курсе математики на каждом шагу встает по различным конкретным поводам в письмах и выступлениях учителей и нередко дебатируется в нашей методической печати. Это понятно и естественно: с одной стороны, каждый учитель по опыту знает, какое значение для выработки правильных научных установок имеет целесообразно построенное определение; с другой стороны, одно и то же понятие сплошь и рядом совершенно различно определяется в различных учебных и методических руководствах. Легко понять, что вопрос о том, какое из предлагаемых определений является наиболее обоснованным научно и наиболее эффективным методически, волнует учителя, будит его научную и педагогическую мысль, заставляет обращаться за разъяснениями, а часто и побуждает к высказыванию (иногда даже к настойчивой пропаганде) своей собственной точки зрения.
Совершенно ясно, что все возникающие по отдельным конкретным поводам вопросы и дискуссии, связанные с определением математических понятий в школьном преподавании, могут получить успешное разрешение только при том условии, что от беспочвенных споров по поводу {85} определения тех или иных отдельных понятий мы перейдем к общей постановке этой большой научно-методической задачи и выработаем основные принципы построения математических определений в школе. Пока этого не сделано, любая дискуссия по поводу какого угодно отдельного понятия останется беспочвенной; можно ли, в самом деле, выбрать наиболее целесообразное определение того или другого понятия, если мы не знаем, если мы не договорились о том, какие черты, свойства и особенности выбираемого определения должны заставить нас предпочесть его другим? Не будет ли это похоже на то, как если бы двое судей стали спорить о выборе правильного решения по возникшему конкретному делу, не зная законов своей страны?
Уже беглое знакомство с характером запросов и высказываний учительства по поводу отдельных математических определений с исчерпывающей убедительностью показывает, что по основным возникающим здесь принципиальным вопросам мы имеем такой разнобой мнений и точек зрения, при котором нет ни малейшей возможности договориться по какому-либо конкретному вопросу, ибо всякая дискуссия останется бесплодной до тех пор, покуда спорящие исходят из различных основных принципов. Если один для эффективности определения считает решающим моментом его соответствие с современными научными воззрениями, другой — близость к практике, третий — наглядность, четвертый — широту, пятый — сходство с определениями аналогичных понятий и т. д., то, конечно, в вопросе о выборе наиболее целесообразного определения никакого единодушия ожидать нельзя.
Но изучение высказываний учительства приводит и к таким заключениям, которые ведут еще дальше. Оно со всей определенностью показывает, что вопрос о самой сущности определения, о том, что значит определить понятие, не имеет еще полной ясности. Здесь господствуют разнообразные смешения: полноценное научное определение очень часто подменяется ни к чему не обязывающим описанием или даже просто указанием на роль и значение «определяемого» понятия в той или другой практической деятельности («число есть результат счета или измерения»). Очень часто бывает, что из двух конкурирующих «определений» одно действительно определяет {86} понятие, в то время как другое даже не претендует на такую роль, являясь лишь скромным поясняющим описанием; ясно, что два таких «определения» никак не могут вступить в конкуренцию, ибо задачи, которые они себе ставят, совершенно различны, а между тем как часто у нас ломаются копья именно в подобных случаях, чтобы доказать предпочтительность одного из таких «определений» перед другим!
Совершенно ясно, что прежде чем выбрать наиболее эффективную систему определений, прежде даже чем устанавливать общие принципы такого выбора, необходимо с полной отчетливостью договориться о том, что такое математическое определение. Необходимо установить абсолютно точные признаки, позволяющие отличить определение от более или менее полного описания, с возможной ясностью исследовать роль определений и описаний в школьном преподавании и выяснить, какие методические последствия должно повлечь за собою логическое различие между понятиями действительно определяемыми и понятиями, при введении которых мы ограничиваемся описанием.
Именно этим предварительным целям посвящено настоящее небольшое исследование.