5.3. Анализ ценности и эффективности выборочной (неполной) информации

Известно, что информация считается полной, если она однозначно определяет экономическое событие. Ценность полной оперативной информации состоит в том, что она позволяет принимать решения, обеспечивающие разовый экономический эффект или минимум потерь.

Но, зачастую, очень сложно добыть полную оперативную информацию об экономическом процессе. Поэтому теперь речь - о ценности и эффективности неполной, выборочной информации и об удельном весе интуиции и профессиональном опыте руководителя(ЛПР) при анализе рискоориентированной информации

Ценность дополнительной (заказной) информации увеличивается, когда она обеспечивает максимальное использование опыта руководителя (ЛПР) как наиболее существенного фактора в принятии решений. Предположим, руководитель уверен, что получит контракт, если предложит выполнить объем работ по цене А. Однако он не уверен в том, что контракт по такой цене даст прибыль. Поэтому к процессу оценки ситуации привлекаются эксперты, полагающиеся на интуицию, и экономисты, использующие количественную информацию.

Согласно сложившейся традиции содержание получаемых таким образом оценок сводится к однозначным предсказаниям типа:

• "Затраты на выполнение контракта будут X";

• "Объем продаж на следующие шесть месяцев будет Z".

Руководитель, который в своей деятельности часто сталкивался с подобными предсказаниями, без труда представляет степень их точности и надежности.

Мнение о том, что прогнозы о продаже товара имеют тенденцию быть "оптимистическими", равносильно утверждению, что в среднем фактический объем продаж окажется меньше, чем обещают предсказания.

Средняя разность между прогнозируемыми величинами показателей и фактическими результатами называется ошибкой прогноза. Зная о величине ошибки прогноза, руководитель представляет фактические затраты на контракт как сумму прогнозной оценки и некоторой ошибки.

Ошибку можно представить в виде случайной переменной, которая характеризуется средним значением ошибки и дисперсией. Дисперсия ошибки, в свою очередь, явится мерой точности процесса оценки. Ожидается, что ошибка будет результатам влияния на процесс оценки большого числа малых, независимых факторов, и поэтому можно считать ошибку распределенной по нормальному закону.

Предполагается, что ошибка не зависит от оцениваемых затрат на выполнение контракта, так как ошибка в оценке крупных контрактов характеризуется той же степенью неопределенности, что и оценка малых контрактов.

Можно считать, что фактические затраты равны оцениваемым, умноженным на некоторую случайную переменную, которая называется коэффициентом ошибки (ЕК-еггог гаtio). В этом случае несмещенный процесс оценки характеризуется коэффициентом ошибки, значение которого равно единице.

Сделаем небольшое упрощение в нашем примере. Очевидно, что руководитель хочет максимизировать ожидаемую прибыль, которая равна разности между ценой контракта и ожидаемыми затратами. Если затраты считать нормально распределенной случайной величиной, то прибыль также будет нормально распределенной случайной величиной со средним значением, равным ожидаемой прибыли и с той же дисперсией, что и затраты. Следовательно, мы можем показатель прибыли принять за основную случайную переменную, а оценку ожидаемой прибыли - за источник неопределенности. Тогда коэффициент ошибки будет характеризовать ошибку в определении прибыли. Заметим, что очень большое число ситуаций управления можно описать подобным образом.

МОДЕЛИРОВАНИЕ АПРИОРНЫХ И АПОСТЕРИОРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Мы будем моделировать рассматриваемое явление, принимая его за случайный процесс, который порождает последовательность независимых, нормально распределенных случайных величин. Любая из этих величин имеет распределение, обозначаемое следующим образом:

г(Х) = ГЧ(т. Д), где: т ~ математическое ожидание (среднее значение);

Д - дисперсия нормального распределения.

В типичной ситуации принимающий решение действует так, как если бы абсолютное значение погрешности математического ожидания было известно, а его среднее значение неопределенно. Удобно ввести отношение фактической (Д) и априорной дисперсии (Д ).

Это отношение С = Д/Д можно интерпретировать как меру априорной уверенности руководителя относительно достоверности предварительных оценок. Если руководитель имеет малый опыт, отсутствие сильной убежденности, он склонен да­вать большие значения Д и следовательно получаются малые значения априорной убежденности.

Априорную убежденность можно интерпретировать так. Руководитель считает, что фактические параметры процесса могут отклоняться от математического ожидания на Дт единиц, а ошибка заводских экспертов ДС единиц. Руководитель полагает, что ДС всегда больше Дт. Тогда убежденность руководителя можно оценить даже при наличии только двух абсолютных оценок Дт и ДС.

Численное значение убежденности определится как отношение квадратов отклонения математическо­го ожидания процесса к квадрату ошибки заводских экспертов (С = Дт УДС³).

Оценка руководителем своего априорного мнения позволяет ему непосредственно указать, какой удельный вес должен быть его мнению придан, а какой другим данным, которые постепенно становятся доступными. Если руководитель говорит, что он уверен в своей оценке на 10%, то мы сразу можем принять С = 0,1, не зная фактические параметры процесса. Это дает наиболее полезное операциональное определение понятий определенности и неопределенности. Чем меньше первоначальная убежденность, тем больше человек стремится к получению новых данных, следовательно больше степень неопределенности ситуации.

Дополнительная информация снижает неопре­деленности ситуации. Количественно это выражается в том, что нормальное априорное распределение при использовании нормально распределенных выборочных данных преобразуется в нормальное апостериорное распределение. Обычно оказывается, что 25 наблюдений достаточно, чтобы получить полную информацию. Под наблюдениями понимаются привлеченные для анализа аналогичные ситуации.

Апостериорное распределение математически характеризуется параметрами:

ст

где: т , т д - апостериорное и априорное математическое ожидание;

т - среднее значение наблюдений выборки;

п - количество членов выборки;

с - априорная уверенность;

Д , Д^- дисперсия апостериорного нормального распределения и дисперсия выборки.

Апостериорная дисперсия математического ожидания постепенно приближается к фактической дисперсии по мере того, как увеличивается число наблюдений. Если число наблюдений неограниченно возрастает, руководитель приобретает полную уверенность относительно математического ожидания процесса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРА ВЫБОРКИ

Один из важнейших моментов при принятии решений - программа сбора данных. Количество наблюдений для выборки напрямую зависит от трех факторов:

• априорная уверенность руководителя;

• требования к точности оценки;

• рассеивание величины оценок в минимально необходимых независимых наблюдениях.

Аналитиками разработаны основные представления о программе сбора данных.

1. Чем больше дисперсия априорного распределения, тем больше ожидается прибыль от выборочной информации. Чем больше неопределенность ситуации принятия решений, тем значительнее сумма, которую руководитель согласен заплатить за информацию, уменьшающую эту неопределенность.

2. Информация, полученная вначале, оказывает очень большое влияние на уменьшение неопределенности ситуации. Каждое последующее наблюдение оказывается все менее эффективным.

3. Если стоимость информации велика или априорная неопределенность ситуации достаточно мала, то лучше отказаться от сбора дополнительной информации.

4. Если ожидаемая прибыль от выборочной информации положительна для малых значений выборки, она будет возрастать с убывающей скоростью и существует объем выборки, который максимизирует ожидаемую прибыль.

5. Если стоимость получения информации постоянная, то в конце концов эффект от каждого дополнительного наблюдения будет меньше, чем затраты на получение дополнительной информации.

Минимально необходимое количество наблюдений принимается равным трем. Применительно к контракту это означает - необходимо про­анализировать данные хотя бы трех контрактов. Применительно к маркетинговому исследованию - привлечь три независимые фирмы или выпол­нить исследование тремя различными методами. Применительно к оценке недвижимости использовать услуги трех независимых оценщиков или три разные метода оценки недвижимости.

Для оценки достаточности выборки мы используем тот факт, что по мере того, как объем информации будет приближаться к полной информации разность между двумя последовательными значениями дисперсии, результирующими априорное ожидание и выборку, будет стремиться к нулю. Соответственно будет стремиться к нулю разность среднеквадратичных отклонений математического ожидания:

дс=Уд^-7д^->о

При наличии полной информации разность среднеквадратичных отклонений равна нулю. Это свойство выборки позволяет достаточно надежно определять погрешность математического ожида­ния

ДО

^ =100% ,

УДп.,

По погрешности математического ожидания, исчисленного по выборке, состоящей из трех членов, руководитель должен принять решение - про­должить или прекратить программу сбора данных. При погрешности математического ожидания три и менее процента дальнейшие наблюдения обычно не проводятся.

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Для иллюстрации вычисления ожидаемой цен­ности выборочной информации, снова обратимся к примеру с контрактом. Прибыль от рассматриваемого контракта считаем нормально распределенной случайной величиной с известной дисперсией и неопределенным средним значением. Руководи­тель заключит контракт, если прибыль будет больше нуля. Ожидаемая прибыль при наилучшем априорном действии будет максимальная прибыль при априорном математическом ожидании и дис­персии равной нулю П^ = тах(т , 0).

Предположим, что руководителю удалось получить полную информацию. Если ожидаемая прибыль будет больше нуля, он подпишет контракт, в противном случае контракт не будет подписан. Прибыль, получаемую при наличии полной информации, можно рассмотреть как произведение ожидаемой прибыли, получаемой при наилучших априорных действиях умноженную на коэффициент ошибки. Прирост прибыли, обеспеченной полной информацией, будет смещением оценки.

До получения полной информации вместо фактического смещения оценки можно воспользоваться априорным математическим ожиданием смещения ошибки. Тогда относительная ценность выборочной информации определится интегралом линейных потерь, распределенным по нормальному закону (Ьк).

Для практических вычислений интеграл линейных потерь, распределенных по нормальному закону, удобно представить как произведение:

Ц=^Д^Ь,(2к),

где: Д - априорная дисперсия математического ожидания показателя;

1^(2к) - приведенный интеграл линейных по­терь, распределенных по нормальному закону, имеющий протабулированные значения [18];

2к - стандартная переменная.

2к=

(К-Е(т)) л/д7с

где: К - граница интегрирования;

Е(т) - ожидаемое значение выборочного среднего;

Д - дисперсия процесса априорная или апостериорная.

В справочной таблице можно найти значения приведенного интеграла линейных потерь только для положительных значений 2к. Использование таблицы для отрицательных значений 21 осуществляется при помощи переходной формулы:

1^<-2Ю = 2к + Ь„(2к)

Чтобы представить природу интеграла линейных потерь на интуитивном уровне, рассмотрим пример, в котором граница интегрирования (К) и априорное среднее (трг) равны; соответственно стандартная переменная также равна нулю, 2к=0.

Тогда приведенный интеграл линейных потерь принимает максимальное значение 1-^(0) =0,3989. Конкретизируем пример.

Пусть мы продаем ноль тракторов и имеем прибыль, равную нулю. Руководитель априорно считает, что объем продаж составляет 100 единиц. Он знает, что каждый проданный трактор принесет прибыль 1000 и5Б и просит определить апри­орный ожидаемый прирост прибыли при наличии полной информации о рынке. Априорная ожидаемая прибыль составит 39,89 тыс.и5П (100 тракто­ров * 1 тыс.и5П * 0,3989).

Пример позволяет сделать важный вывод, используемый для предварительных оценок. Максимальная априорная величина математического ожидания смещения не может превышать 39,89% априорной оценки среднеквадратичного отклонения исследуемого показателя.

При переходе от качественной оценки к количественной выражение для ожидаемой ценности выборочной информации ЕУ/51 (Ехрес1ес1 Уа1ие о? 8атр1е 1пГогтапоп) принимает вид:

ЕУ/81 - Пед^(Д„-Д„)^(2к) ,

где: Пед - прибыль на единицу измерения (единицу продукции, контракт и т. д.);

Д , Дд - дисперсия апостериорная и выборки.

Ожидаемая чистая прибыль от выборочной информации Е1ЧС/51 (ЕхЬесТес! Nе^: Оат Ргот 8атр1е 1пгогтапоп) должна учитывать текущие затраты, связанные с созданием и использованием информации и налогообложение прироста прибыли.

ЕГ^С/51 = ЕУ/51 - (Зт + ДН), где: Зт - текущие затраты, связанные с созданием и использованием информации;

ДН - налоги на прирост прибыли, обусловленной привлечением дополнительной информации.

Оценка экономической эффективности неполной информации может производиться с использованием статичных или динамичных систем эффективности.

Вывод. Объемы дополнительной выборочной информации и затраты на ее получение оптимизируются, когда обеспечивается максимальное использование опыта руководителя как наиболее существенного фактора в принятии решений.

ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕННОСТИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Тракторный завод выходит па новый террито­риальный рынок. Априорно спрос оценен т -1000 тракторов в ближайшие три года. Руководитель считает, что спрос оценен с точностью Дт=100 тракторов. Он уверен в своей оценке на 50%.

Равновесная цена тракторов Цед= 10 тыс.и5П. Затраты, связанные с производством и сбытом

партии тракторов имеет линейную зависимость от объема продаж

3 = (5000 + 4,0 * ^) тыс.и50, где: N^ - объем продаж, шт.

Для уточнения спроса по равновесной цене была привлечена маркетинговая фирма. Исследование рынка тремя различными способами определили величину спроса соответственно: 1032, 1036, 1052 трактора. Плата за услуги фирмы составила 50 тыс.и50.

Фирма гарантирует точность определения спроса плюс/минус пять тракторов. Определить априорную и приорную ценность маркетингового исследования.

Решение удобно совместить с анализом апри­орной и приорной ситуации.

Во-первых, рассчитаем априорное смещение оценки спроса, используя приведенный интеграл линейных потерь нормального распределения. Принимаем: априорная дисперсия Д = 100², приорная дисперсия Д = 0, априорное математическое ожидание выборки Е(т) = 1000 штук, граница интегрирования К = 1100 штук.

Тогда величина стандартной переменной равна

2к == (1100 - 1000) / ^100^5 = 0,7

Входим в таблицу и находим приведенный интеграл линейных потерь 1^(0,7) = 0,1429.

Априорное математическое ожидание пессимистического смещения объема продаж составит Дт =14 тракторов (Дт*Е^(1)= 100 тракторов * 0,1429).

Мы полагали, что руководитель не определил, завышена или занижена базовая оценка спроса. Рассмотрим другой вариант. Пусть руководитель считает, что оценка спроса занижена. Тогда 100 тракторов составят возможный прирост продаж. Априорное среднее необходимо уточнить. Оно изменится от 1000 тракторов до Е(т) = 1050 тракторов. Граница интегрирования останется неизменной К=1100 штук. Априорная дисперсия уменьшится, поскольку сместилось априорное среднее Д = 50². Величина стандартной переменной не изменится, поскольку она определяется убежденностью руководителя, 21< = 0,7

(2к = (1100 -1050) / ^О²/»^)

Соответственно останется неизменным приведенный интеграл литейных потерь 1^ (0,7) = 0,1429. Априорное математическое ожидание смещения объема продаж изменится существенно, поскольку сместилось априорное среднее и изменилась дисперсия. Оно определится по формуле:

Дт^=(1(т)-т^)+^/с*Ь^2к),

где:^(т)- уточненная средняя оценка.

Величина математического ожидания оптимистического смещения оценки спроса составит 57 тракторов (1050 - 1000 + 50 * 0,1429).

ЦЕННОСТЬ АПРИОРНОЙ И АПОСТЕРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Априорная полная

1) службой сбыта 1000 . 10,0 ^: 9,0 1000

2) руководителем

а) пессимистическая 1014 10,14 9,06 1080 68,0

б) оптимистическая 1057 10.57 9,23 1340 289,0

3) Апостериорная неполная

по выборке маркетинга 1045 - 10,45 9,18 1270 . 229,5

Во-вторых, рассчитаем смещение оценки спроса по неполной информации маркетинга. Среднее значение спроса на выборке (маркетинговому исследованию составит) 1040 тракторов (Е(т) = (1032 + 1036 + 1052)/3).

Апостериорное математическое ожидание спроса 1048 тракторов.

Апостериорное математическое ожидание смещения объема продаж составит Ат = 45 тракторов

Дт„=(Е(т)-т„)+^,-Д„^(2к) Дгпро = (1040 -1000) + ^21,9²-8,б²*0,2592 - 45

1100*0,5+3*1040 ^тр0" 0,5+3

Дисперсия выборки Дп = 8,б²; дисперсия апостериорная Д - 21,2²

Априорное математическое ожидание смещения объема продаж позволяет выявить возможный прирост прибыли. Прибыль на объем продаж найдется как разность объема реализации и затрат:

П, = Цед * Р^ - (5000 + 4,0 * Г<,)

_ (1032-1040)²+^103б-1040)²+(1052-1040)² ,

Дп = ————————————„———————————— = 8,6

_(110^-1048)²•^•0.5+3^8.б² ., ^р0 ~ 0,5+3 ~ '

В этом случае среднее значение выборки принимается за уточненную среднюю оценку, апостериорное математическое Ожидание спроса становится границей интегрирования (К). Апостериорная убежденность руководителя С =0,9 (5²/ 48²).

Величина стандартной переменной неполной информации:

2к=(т -^(т)/^Др,/С=^1048-1040)/-^21,2²/0,9=0,33

По таблице находится приведенный интеграл литейных потерь 1^(0,33) = 0,25927

Прирост прибыли от дополнительного объема продаж:

ЕУ/51=(П -П„)К„

где: П , П - прибыль при наличии информации и априорном объеме продаж;

К, - коэффициент, гарантирующий невыход ошибки за допустимые пределы, К, = 0,85.

Расчет прибыли сведен в таблицу 1. Из б-й графы таблицы видно, что априорная и приорная ценность маркетингового исследования может в несколько раз превышать его договорную цену, составляющую 50 тыс. и 50.

Ожидаемый объем продаж больше среднего по маркетинговому исследованию на 5 тракторов, поскольку результаты маркетинга дополнены опытом руководителя.

1 -Метод оценки рисков представлен автором в статье, опубликованной в журнале "РИСК" № 1, 1998г.

2 В процессе принятия решения о предоставлении кредита возможны ошибки двух родов:

• ошибка 1-го рода – решение об отказе в выдаче кредита «добросовестному» заемщику;

• ошибка 2-го рода – решение о выдаче кредита «недобросовестному» заемщику.

Ошибка 2-го рода наиболее серьезная по своим правовыми и экономическим последствиям. Если будут известны законы распределения частот обращения в кредитные учреждения «добросовестных» и «недобросовестных» заемщиков, то задача принятия решений о выдаче кредита сведется к определению ошибок 1-го и 2-го родов в условиях известных законов распределения.