3.4. Сравнение множителей наращения по простым и сложным процентам

Для того чтобы выяснить, какой схемой начисления процентов целесообразно пользоваться при проведении долгосрочных и среднесрочных финансовых операций, и какой – при проведении краткосрочных, сравним величины множителей наращения по простым ( ) и по сложным процентам. Для этого выберем единый уровень процентной ставки, равный 10% годовых. Временной базой будем считать год, равный 365 дням. Значения множителей наращения занесем в таблицу.

Способ начисления	Значение множителя наращения в зависимости от срока операции
	30 дней	180 дней	1год	5 лет	10 лет	20 лет	50лет
Простые проценты	1,00822	1,04932	1,10	1,5	2,0	3,0	6,0
Сложные проценты	1,00786	1,04812	1,10	1,61051	2,59374	6,72750	117,39085

Как видим, при 0 < <1 имеет место неравенство < .

При >1 – неравенство противоположного смысла: > .

При = 1 значения множителей наращения равны.

Отметим, что эти соотношения верны при любых значениях .

Таким образом, с точки зрения инвестора (кредитора) при долгосрочных финансовых операциях больший эффект достигается при применении сложных процентов, при краткосрочных операциях для наращения, с его точки зрения, выгоднее применять простые проценты.

3.5. Наращение процентов m раз в году

Иногда в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, полугодие, квартал, месяц или другой период времени. В этом случае проценты начисляются раз в году. В контрактах, как правило, фиксируется не ставка за процентный период, а годовая ставка процентов, которая в этом случае называется номинальной.

Пусть годовая (номинальная) ставка равна , срок финансовой операции лет, а число периодов начисления процентов в году рано . Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке , Количество начислений при этом составит: .

Формулу наращения в этом случае можно представить следующим образом:

, (3.4)

где - номинальная годовая ставка;

-общее количество периодов начисления, .

Пример. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через пять лет при применении сложной ставки 15,5% годовых, если проценты начисляются ежеквартально?

Решение; PV= 100 000 рублей; n=5 лет; i= 0,155; m= 4.

.

3.6. Номинальная и эффективная процентные ставки

Предположим, что по требованию клиента, банк начисляет проценты ежеквартально, хотя в договоре указана годовая процентная ставка .

Если проценты начисляют ежеквартально, то количество начислений в год , а начисление будет производиться по ставке . В данном случае , тогда за год множитель наращения составит:

Таким образом, фактически годовая ставка наращения составит 12,55%. В этом случае говорят, что эффективная ставка составляет 12,55%, а объявленная номинальная ставка - 12%.

Таким образом, номинальной называется процентная ставка, используемая для расчетов, для фиксирования в договорах.

Эффективная ставка процента измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов. Иначе говоря, эффективная ставка, это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и разовое начисление процентов по ставке .

Если номинальная годовая ставка равна , а сложные проценты начисляются раз в год по ставке ,то эффективная годовая ставка может быть определена из уравнения:

Таким образом: (3.5)

Пример. Найдите эффективную ставку процента, если номинальная ставка равна 24% при ежемесячном начислении процентов.

Решение: i=0,24; m=12.

т.е. 26,8%