- •Функциональные ряды Методические указания и индивидуальные задания
- •1. Индивидуальные задания
- •1.1. Теоретические упражнения
- •1.2. Практические задания
- •Задание 1
- •1.2.2. Задание 2
- •1.2.4. Задание 4
- •1.2.5. Задание 5
- •1.2.6. Задание 6
- •1.2.7. Задание 7
- •2.Примеры выполнения заданий
- •2.1. Пример 1
- •Типы функций
- •2.2. Пример 2
- •2.3. Пример 3
- •3. Контрольные вопросы
2.2. Пример 2
Вычислить значение определенного интеграла с точностью до 0,001.
Интеграл J является несобственным. Так как то положим f(0) = -1.
Разложим подынтегральную функцию в ряд и почленно проинтегрируем
Определим, сколько слагаемых надо взять, чтобы погрешность вычислений не превышала 0,001. Для этого применим метод мажорирования.
Для n = 5 . Поэтому берем 5 слагаемых в разложении
-0,5817 < J < -0,5797.
2.3. Пример 3
Вычислить значение определенного интеграла с точностью до 0,001.
Интеграл y является несобственным. Так как , то положим F(0) = 2.
Обозначим . Разложим f(x) в степенной ряд
где - n-ый остаток, допускающий оценку Лагранжа.
где
Так как и экспонента достигает максимального значения на правом конце отрезка, то . Следовательно,
Значит,
где
Оценим сверху:
Теперь подберем n так, чтобы
Для этого n будем иметь и требуемая точность
Необходимо взять в сумме 9 слагаемых, и необходимая точность будет достигнута.
3. Контрольные вопросы
Что называется функциональным рядом?
Область сходимости функционального ряда.
Ряд Тейлора для функции f(x) по степеням х – а.
Что называется степенным рядом?
Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Оценка остатка функционального ряда.
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
Теорема о почленном интегрировании и почленном дифференцировании функционального ряда.
Равномерная сходимость степенного ряда. Теорема Вейерштрасса.
Разложение в ряд основных функций: ex, Cos x, Sin x, Ln(1+x), (1+x)m.
Условия разложимости функций в ряд Тейлора.
Библиографический список
Пискунов Н.И. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.2. М.: Наука, 1970-1976.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1980.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1971.
Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2. М.: Высш., шк., 1971.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1978.
Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высш. шк., 1966.
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы. / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1981.
Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. М.: Высш. шк., 1983.