Теория

5. Системы счисления

Система счисления – это правила записи чисел с помощью специальных знаков – цифр, а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.

Первоначально люди считали на пальцах – это самый простой способ, который используется по сей день. Один загнутый (или отогнутый) палец обозначал единицу (один день, одного человека, одного барана и т.п.). Такая система счисления называется унарной (от латинского слова unus – один). В качестве цифры можно использовать камешки, узелки, счетные палочки (как в начальной школе), зарубки на дереве (как Робинзон Крузо) или на кости, черточки на бумаге, точки и другие одинаковые знаки или предметы.

С помощью унарной системы можно записывать только натуральные числа, причем запись больших чисел получается очень длинной (представьте себе, как записать миллион?). Любая цифра в унарной системе всегда обозначает единицу, поэтому это одна из непозиционных систем счисления.

Непозиционная система счисления – это такая система, в которой значение цифры не зависит от ее места в записи числа.

К непозиционным относится и десятичная египетская система счисления. Египтяне ввели 7 знаков-иероглифов, которые обозначали степени числа 10 (черточка, хомут, веревка, лотос, палец, лягушка, человек):

рис. 2.13
1	10	102	103	104	105	106

В этой системе, например, число 235 записывалось как .

В римской системе (она также считается непозиционной) в качестве цифр используются латинские буквы: I обозначает 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, и M — 1000. Единицы, десятки, сотни и тысячи кодировались отдельно, например,

2368 = 2000 + 300 + 60 + 8 =

= (1000 + 1000) + (100 + 100 + 100) + (50 + 10) + (5 + 1 + 1 + 1) = MMCCCLXVIII

Больше трех цифр одинаковых подряд не ставили, поэтому число 4 записывали как IV. В такой записи меньшая цифра (I) стоит перед большей (V), поэтому она вычитается из нее. То есть

IV = 5 – 1 = 4.

Аналогично записывались числа 9, 40, 90, 400 и 900:

IX = 10 – 1 = 9, XL = 50 – 10 = 40, XC = 100 – 10 = 90,

CD = 500 – 100 = 400, MC = 1000 – 100 = 900.

Из-за этой особенности римскую систему нельзя считать полностью непозиционной, потому что значение меньшей цифры, стоящей слева от большей, меняется на отрицательное.

У римской системы есть несколько серьезных недостатков:

• можно записывать только натуральные числа (что делать с дробными и отрицательными?);

• чтобы записывать большие числа, необходимо вводить все новые и новые цифры (иногда использовались цифры с подчеркиванием или чертой сверху, что обозначало увеличение в 1000 раз: V — 5000, X — 10000 и т.д.);

• сложно выполнять арифметические действия.

Сейчас римская система применяется для нумерации веков (XXI век), глав в книгах, на циферблатах часов (например, на Спасской башне Московского Кремля).

В славянской системе счисления в качестве цифр использовались буквы алфавита, над которыми ставился знак («титло»):

1	2	3	4	5	6	7	8	9
рис. 2.14
10	20	30	40	50	60	70	80	90
100	200	300	400	500	600	700	800	900

Если в ряд стояло несколько цифр, знак титло ставился только у первой. Старшие цифры записывались справа от младших, например, число 11 записывалось как . Славянская система счисления используется на циферблате часов Суздальского Кремля.