В) Решим данную систему методом обратной матрицы.

Решение. Данную систему можно записать в матричном виде АХ = В,

где , ,

Решение матричного уравнения имеет вид Х = А^-1 В = N, где А^-1 – матрица, обратная матрицы А. Так как определитель матрицы системы D(A) = 180 отличен от нуля то матрица А имеет обратную. Для вычисления обратной матрицы воспользуемся формулой

Где А₁₁, А₁₂, …, А₃₃ – алгебраические дополнения элементов а₁₁, а₁₂, …, а₃₃ матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

; ; ;

; ;

; ; .

Составим обратную матрицу

.

Найдем теперь матрицу Х.

Из равенства матриц Х = N или следует решение системы

х₁=2, х₂ = 1, х₃ = -3.

Задача 2. Методом исключения неизвестных найти общее и базисное

решение системы линейных уравнений

Решение.

Это система двух уравнений с тремя неизвестными. Она совместна и неопределенна. Надо описать совокупность всех ее решений. В качестве базисных неизвестных данной системы можно взять те неизвестные, для которых определитель составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю. Здесь три таких определителя, один из которых равен нулю . Следовательно, неизвестные х₁ и х₃ нельзя брать в качестве базисных. Примем за базисные неизвестные х₁ и х₂ , для которых определитель . Будем считать неизвестную х₃ свободной и запишем систему в виде

Или в матричной форме . Воспользуемся методом полного исключения неизвестных:

Общее решение:

Полагая в общем решении х₃ = 0, получим базисное решение х₁ = ,

Проверка базисного решения показывает, что оно удовлетворяет обоим уравнениям системы, то есть, является частным решением системы. Давая х₃ любые другие числовые значения, получим бесчисленное множество частных решений.

Аналогично решаются системы с несколькими свободными неизвестными.

Задача 3. Даны матрицы и .

Найти произведение матриц АВ.

Решение.

Эти матрицы являются соответственными, так как число столбцов первой матрицы равно числу строк второй: их размеры и . В результате умножения матриц получим новую матрицу С размера , а ее элементы будут равны скалярным произведениям векторов-строк первой матрицы на векторы-столбцов второй:

Пример 1. Решить систему линейных уравнений, пользуясь формулами Крамера.

Определитель данной системы

Вычислим определитель , и :

.

.

.

Решение системы:

Для того чтобы убедиться в правильности решения, подставим эти значения в исходную систему

Задачи для контрольных работ

Каждый студент(ка) выполняет лишь тот пункт, номер которого совпадают с его(ее) номером в журнале группы (номер задания совпадает с номером в журнале).

Итого, каждый студент решает одну систему (тремя методами) и выполняет одно произведение данных матриц.

Раздел I. Линейная алгебра.

	А) Дана система линейных уравнений. Требуется показать, что система совместна и найти ее решение тремя способами: а) по формулам Крамера, выполнить проверку решения; б) методом Гаусса; в) методом обратной матрицы.
1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.
9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.
17.		18.
	19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. В) Найти произведение матриц , если , даны:
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. ,
12. ,
13. ,
14. ,
15. ,
16. ,
17. ,
18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. , .

Каждый студент выполняет лишь те пункты, номера которых совпадают с его номером в журнале

Правила выполнения и оформления контрольных работ

При выполнении контрольных работ надо придерживаться указанных ниже правил.

1. Контрольную работу надо выполнить в отдельной тетради, оставляя поля для замечаний рецензента. В конце работы оставьте 3 – 4 чистых страницы, которые, возможно, понадобятся для исправления решений. Если места достаточно, можно в одной тетради поместить две контрольные работы с соблюдением указанных условий.

2. В заголовке работы должны быть разборчиво написана фамилия, имя и отчество, учебный шифр, номер контрольной работы, название дисциплины. Заголовок надо поместить на обложке тетради. Здесь же указать адрес студента и дату выполнения контрольной работы.

3. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номер задач своего варианта.

4. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие, заменив, где надо, общие данные контрольными из своего варианта.

5. Решения задач излагайте аккуратно, объясняя основные действия, выписывая нужные формулы, делая необходимые чертежи.

6. После получения прорецензированной работы исправьте все ошибки и недочеты, отмеченные рецензентом, вписав исправления на оставленных чистых страницах.

Основная литература:

1. КричевецА.Н.Математика для психологов: учебник / А.Н. Кричевец, Е.В. Шикин, А.Г. Дьячков; под ред. А.Н. Кричевца. – 3-е изд., испр. – М.: Флинта: Московский психолого-социальный инсти­тут, 2006. – 376 с.

2. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч.: [учеб. пособие для вузов] / П. Е. Данко [и др.]. - 7-е изд., испр. - М. : ОНИКС: Мир и Образование, 2008 - .Ч. 1. - 368 с.

3. Высшая математика в упражнениях и задачах : в 2 ч.: [учеб. пособие для вузов] / П. Е. Данко [и др.]. - 7-е изд., испр. - М. : ОНИКС: Мир и Образование, 2009.Ч. 2. - 448 с.

4. Высшая математика для экономистов. Практикум : учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по экон. специальностям / [Н. Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н. Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2010. - 478 с. : рис. - (Золотой фонд российских учебников).

5. Математическая статистика для психологов: учебник /О.Ю. Ермолаев. – 3-е изд., испр. – М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2004.

дополнительная литература:

1. Сборник задач по высшей математике для экономистов: уч. пособие под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2008.

2. Математика для экономистов: уч. пособие. Красс М.С., Чупрынов Б.П. – СПб.: Питер, 2007.

3. Невежин В.П., Кружилов С.И. Сборник задач по курсу «Экономико-математическое моделирование». –М.:ОАО «Издательский Дом “Городец”», 2005. – 320 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика М.: Высшая школа, 2001.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике М.: Высшая школа, 2001.

Интернет-ресурсы http://teachpro.ru

Рекомендуемая литература

1. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов.  М., Высшая школа, 2001.

2. Щипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа, 2004.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М., Высшая математика: Учебник. В.3т. М.: Дрофа. 2004

4. Борисова О.Н., Щиканов А.Ю., Яцкевич А.Б. (под редакцией Борисова В.Ф.) Математика и ее приложения. Сборник задач для студентов заочной формы обучения КИУЭС.  Королев: КИУЭС, 2004, 26 с.

5. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1, ВШ, М. 1999.

6. Соловьев И.А., Шевченко В.В., Червяков А.В., Репин А.Ю. Практическое руководство к решению задач по высшей математике. Линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, производная и ее приложения: Учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2007. – 320 с.: ил. – (Учебник для вузов).

Cаркисян Рубен Суренович. rubensuren@mail.ru