Вариант 7

Задача 1.2

Дано: U = 100 В; P = 125 Вт; R₁ = 50 Ом; R₂ = 40 Ом.

Решение

Т ок в неразветвленной части цепи

I₁ = P/U = 125/100 = 1,25 А.

Уравнения Кирхгофа

I₂ + I₃ = I₁;

U = R₁I₁ + R₂I₂;

0 = R₂I₂ – R₃I₃.

Токи в ветвях I₂ = (U – R₁I₁ )/R₂ = (100 – 50∙1,25)/40 = 0,94 А; I₃ = I₁ – I₂ = 1,25 – 0,94 = 0,31 А.

Сопротивление R₃ = R₂I₂/I₃ = 40∙0,94/0,31 = 120 Ом.

Задача 1.9

Дано: E = 12 В; R_вт = 1 Ом, R₁ = 4,5 Ом, R₂ = 4,5 Ом, R₃ = 4,5 Ом, R₄ = 9 Ом, R₅ = 6 Ом.

Решение

а) Преобразование звезды сопротивлений R₁, R₂, R₃ в эквивалентный треугольник.

Сопротивления эквивалентного треугольника

R₁₂ = (R₁R₂ + R₂R₃ + R₃R₁)/R₃ = (4,5∙4,5 + 4,5∙4,5 + 4,5∙4,5)/4,5 = 13,5 Ом;

R₂₃ = (R₁R₂ + R₂R₃ + R₃R₁)/R₁ = (4,5∙4,5 + 4,5∙4,5 + 4,5∙4,5)/4,5 = 13,5 Ом;

R₃₁ = (R₁R₂ + R₂R₃ + R₃R₁)/R₂ = (4,5∙4,5 + 4,5∙4,5 + 4,5∙4,5)/4,5 = 13,5 Ом.

Сопротивления параллельных соединений ab и cd

R_ab = 1/(1/R₄ + 1/R₁₂) = 1/(1/9 + 1/13,5) = 5,4 Ом.

R_cd = 1/(1/R₅ + 1/R₃₁) = 1/(1/6 + 1/13,5) = 4,15 Ом.

Сопротивление внешней цепи R = 1/(1/(R_ab + R_cd) + 1/R₂₃) = 1/(1/(5,4 + 4,15) + 1/13,5) = 5,59 Ом.

Ток в неразветвленной части цепи I = E/(R_вт + R) = 12/(1 + 5,59) = 1,82 А.

Напряжение на внешней цепи U_ad = RI = 5,59∙1,82 = 10,2 В.

Ток в ветви abcd I_abcd = U_ad/(R_ab + R_cd) = 10,2/(5,4 + 4,15) = 1,07 А.

Напряжения на участках ab и cd U_ab = R_abI_abcd = 5,4∙1,07 = 5,75 В; U_cd = R_cdI_abcd = 5,4∙1,07 = 4,43 В.

Токи в ветвях

I₄ = U_ab/R₄ = 5,75/9 = 0,64 А; I₅ = U_cd/R₅ = 4,43/6 = 0,74 А;

I₁ = I₅ – I₄ = 0,74 – 0,64 = 0,10 А; I₂ = I – I₄ = 1,82 – 0,64 = 0,18 А; I₃ = I – I₅ = 1,82 – 0,74 = 1,08 А.

б) Преобразование треугольника сопротивлений R₄, R₂, R₁ в эквивалентную звезду.

Сумма сопротивлений треугольника ∑R_∆ = R₄ + R₂ + R₁ = 9 + 4,5 + 4,5 = 18 Ом.

Сопротивления эквивалентной звезды

R₂₄ = R₂R₄/∑R_∆ = 4,59/18 = 2,25 Ом;

R₁₂ = R₁R₂/∑R_∆ = 4,54,5/18 = 1,13 Ом;

R₁₄ = R₁R₄/∑R_∆ = 4,59/18 = 2,25 Ом.

Сопротивление параллельного соединения ab

R_ab = 1/(1/(R₁₂ + R₃) + 1/(R₁₄ + R₅)) = 1/(1/(1,13 + 4,5) + 1/(2,25 + 6)) = 3,34 Ом.

Ток в неразветвленной части цепи I = E/(R_вт + R₂₄ + R_ab) = 12/(1 + 2,25 + 3,34) = 1,82 А.

Напряжение на участке ab U_ab = R_abI = 3,34∙1,82 = 6,09 В.

Токи в ветвях

I₃ = U_ab/(R₁₂ + R₃) = 6,09/(1,13 + 4,5) = 1,08 А; I₅ = U_ab/(R₁₄ + R₅) = 6,09/(2,25 + 6) = 0,74 А;

I₁ = (– R₂I₃ + R₄I₅)/∑R_∆ = (– 4,51,08 + 90,74)/18 = 0,10 А;

I₂ = (R₄I + R₁I₃)/∑R_∆ = (91,82 + 4,51,08)/18 = 1,18 А;

I₄ = (R₂I + R₁I₅)/∑R_∆ = (– 4,51,08 + 90,74)/18 = 0,64 А.

Задача 1.14

Дано: E₁ = 120 В; E₂ = 125 В; R_вт1 = 0,15 Ом, R_вт2 = 0,1 Ом, R₁ = 2,5 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 2 Ом, R₄ = 2,5 Ом.

Решение

Метод контурных токов.

У равнения, составленные по второму закону Кирхгофа

для выбранных независимых контуров:

E₁ – E₂ = (R_вт1 + R₁ + R_вт2 + R₃ + R₄)I_I – (R_вт2 + R₃)I_II;

E₂ = – (R_вт2 + R₃)I_I + (R_вт2 + R₂ + R₃)I_II;

120 – 125 = (0,15 + 2,5 + 0,1 + 2 + 2,5)I_I – (0,1 + 2)I_II;

125 = – (0,1 + 2)I_I + (0,1 + 4 + 2)I_II.

Контурные токи I_I = 5,83 А; I_II = 22,50 А.

Токи в ветвях по методу контурных токов

I₁ = I_I = 5,83 А; I₂ = I_II = 22,50 А; I₃ = I_II – I_I = 22,50 – 5,83 = 16,67 А.

Метод наложения.

Схема с оставленным источником E₁.

Сопротивление параллельного соединения пассивных ветвей

R_ab = 1/(1/R₂ + 1/(R_вт2 + R₃)) = 1/(1/4 + 1/(0,1 + 2)) = 1,38 Ом.

Ток в активной ветви

I1;( = E₁/(R_вт1 + R₁ + R₄ + R_ab) = 120/(0,15 + 2,5 + 2,5 + 1,38) = 18,39 А.

Напряжение на участке ab U_ab = R_abI1;( = 1,38∙18,39 = 25,3 В.

Токи в пассивных ветвях

I2;( = U_ab/R₂ = 25,3/4 = 6,33 А; I3;( = U_ab/(R_вт2 + R₃) = 25,3/(0,1 + 2) = 12,06 А.

Схема с оставленным источником E₂.

Сопротивление параллельного соединения пассивных ветвей

R_ab = 1/(1/R₂ + 1/(R_вт1 + R₁ + R₄)) = 1/(1/4 + 1/(0,15 + 2,5 + 2,5)) = 2,25 Ом.

Ток в активной ветви

I = E₂/(R_вт2 + R₃ + R_ab) = 125/(0,1 + 2 + 2,25) = 28,73 А.

Напряжение на участке ab U_ab = R_abI = 2,25∙28,7 = 64,7 В.

Токи в пассивных ветвях

I = U_ab/(R_вт1 + R₁ + R₄) = 64,7/(0,15 + 2,5 + 2,5) = 12,56 А; I = U_ab/R₂ = 64,7/4 = 16,17 А.

Токи в ветвях по методу наложения

I₁ = I1;( – I1;( = 18,39 – 16,17 = 5,83 А; I₂ = I2;( + I2;( = 6,33 + 16,17 = 22,50 А; I₃ = – I3;( + I3;( = – 12,06 + 28,73 = 16,67 А.

Оба источника работают в режиме генератора.

Баланс мощностей:

мощность, отдаваемая источниками,

P_и = E₁I₁ + E₂I₃ = 1205,83 + 12516,67 = 3783 Вт;

мощность, потребляемая нагрузкой,

P_н = (R_вт1 + R₁ + R₄)I1; 2 + R₂I2; 2 + (R_вт2 + R₃)I3; 2 = (0,15 + 2,5 + 2,5)5,83² + 422,50² + (0,1 + 2)16,67² = 2783 Вт.

Задача 1.24

Дано: T-образная схема четырехполюсника R₁ = 200 Ом, R₂ = 200 Ом, R₃ = 400 Ом.

Решение

П остоянные четырехполюсника

A = 1 + R₁/R₃ = 1 + 200/400 = 1,5;

B = R₁ + R₂ + R₁R₂/R₃ = 200 + 200 + 200∙200/400 = 500 Ом;

C = 1/R₃ = 1/400 = 0,0025 сим;

D = 1 + R₂/R₃ = 1 + 200/400 = 1,5.

Уравнения четырехполюсника

U₁ = AU₂ + BI₂;

I₁ = CU₂ + DI₂.

Согласованная нагрузка

R_с = + = + = 447 Ом.

Задача 2.1

Дано: I₁ = 3 А; R₁ = 6 Ом; X₁ = 8 Ом; R₂ = 4 Ом; X₂ = -2 Ом.

Решение

С опротивления ветвей

Z₁ = R₁ + jX₁ = 6 + j8 = 10e ^j538 Ом;

Z₂ = R₂ + jX₂ = 4 – j2 = 4,47e ^{–j2634} Ом.

Сопротивление цепи

Z = Z₁Z₂/(Z₁ + Z₂) = (6 + j8)(4 – j2)/((6 + j8) + (4 – j2)) = 3,82 – j0,29 = 3,83e ^{–j424} Ом.

Напряжение в цепи U = Z₁I₁ = 10e ^j538∙3 = 30e ^j538 В.

Ток в неразветвленной части цепи I = U/Z = 30e ^j538/3,83e ^{–j424} = 7,82e ^j5732 А.

Ток во второй ветви I₂ = U/Z₂ = 30e ^j538/4,47e ^{–j2634} = 6,71e ^j7942 А.

Комплексная мощность на зажимах цепи S = UI; * = 30e ^j538∙7,82e ^{–j5732} = 235e ^{–j339} ВА = 234 – j15 ВА.

Показания вольтметра U = Re U = 30 В.

Показания ваттметра P = Re S = 234 Вт.

Коэффициент мощности на зажимах цепи cos  = cos (Arg S) = cos (– 339) = 0,998.

Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений на комплексной плоскости