- •Розділ 1. Функції, їх властивості та графіки.
- •Визначення функції та способи задання.
- •Властивості функції.
- •Графіки елементарних функцій та їх властивості. Найпростіші перетворення графіків функцій.
- •Границя функції в точці.
- •Теореми про границі.
- •Правила обчислення границь.
- •Границя функції на нескінченності.
- •Неперервність функції в точці. Дослідження функції на неперервність.
- •Контрольні питання.
- •Приклади для розв’язку.
- •Знайти область визначення функції:
- •Побудувати графіки функцій та встановити їх властивості:
- •Обчислити границі:
- •Дослідити функцію та побудувати графік:
Границя функції в точці.
Нехай функція визначена у деякому околі точки х = x0 за винятком, хіба що, самої точки х = x0 .
|
Означення. Число А називається границею функції при , якщо для довільного існує число таке, що для всіх , які задовольняють нерівність: , виконується нерівність . Пишуть: На малюнку показано: — - окіл точки ; — - окіл точки А. |
Тоді геометрично це означає: що будь – якій точці з - околу відповідає деяка точка з - околу.
Теореми про границі.
Якщо кожна з функцій і має скінченну границю при , то справедливі формули:
;
;
;
;
.
Правила обчислення границь.
Якщо функція дробово – раціональна, то для знаходження границі чисельник і знаменник розкладають на множники, які потім скорочують, причому скоротитись повинен той множник, який обертається в нуль.
Якщо чисельник функції – стала величина, а границя знаменника дорівнює нулю, то границя такої функції є нескінченність.
Якщо функція містить знаки радикалів, то чисельник і знаменник помножають на вираз, спряжений до чисельника (знаменника), а потім застосовують формулу різниці квадратів. Вирази та називаються спряженими.
Якщо функція містить корінь третього степеня, то чисельник і знаменник помножають на неповний квадрат суми або різниці, а потім застосовують формулу суми або різниці кубів.
Границя функції на нескінченності.
Границею функції на нескінченності називається число, до якого прямує значення функції, якщо аргумент нескінченно зростає.
Розглянемо приклади:
Границя функції, яка представляє собою многочлен, при є не скінчен-ність.
Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника і знаменника однакові дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах.
Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника менша за степінь знаменника, дорівнює нулю.
Границя на нескінченності дробово – раціональної функції, у якої степінь чисельника більша за степінь знаменника, дорівнює нескінченності.
Неперервність функції в точці. Дослідження функції на неперервність.
Означення. Число А називається границею функції справа при , , якщо функція визначена у правому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .
Позначають:
Означення. Число А називається границею функції зліва при , , якщо функція визначена у лівому - околі точки , і для будь – якого знайдеться таке , що для всіх , взятих з інтервалу виконується нерівність .
Позначають
Означення. Функція називається неперервною в точці ,якщо виконуються водночас такі умови:
функція визначена в точці і в деякому околі цієї точки;
існують односторонні границі і ;
односторонні границі рівні між собою і дорівнюють значенню функції в точці .
Якщо хоча б одна з умов не виконується, функція має розрив в точці .