1.8. Выводы о проведенных исследованиях

На основании проведенных исследований делается общий вывод о степени соответствия данного ряда закону распределения Гаусса по сле­дующим пунктам:

1. Близость к нулю оценки математического ожидания в виде средне­го арифметического.

2. Количество погрешностей со знаком минус и со знаком плюс, есть ли яв­ное преобладание величин с одним знаком.

3. Какие ошибки по абсолютной величине встречаются чаще – боль­шие или малые.

4. Есть ли в ряде систематическая составляющая.

5. Имеются ли среди исследуемых величин грубые измерения.

6. Степень совпадения с теоретическими значений вычисленных ко­эффициентов k₁, k₂ и k₃.

7. Значимость коэффициентов асимметрии и эксцесса.

8. Визуальное соответствие гистограммы и огивы.

9. Вероятность соответствия гипотезе о нормальном законе ряда погрешностей по критериям Пирсона и Колмогорова

Заключительный анализ результатов исследований выполняется в виде пояснительной записки, включающей текстовый материал (желатель­но без нумерации перечисленных пунктов), со ссылками на формулы и ис­точники литературы.

1.7. Пример исследования ряда погрешностей на соответствие нормальному закону распределения

Рассмотрим пример исследования ряда погрешностей на соответствие их нормальному закону распределения по пунктам (с.6-8).

1. В качестве исследуемых величин возьмем 50 невязок, которые являются истинными ошибками.

2. Исследование на наличие существенного систематического влияния проведем по критерию Аббе – формулы (3), (4), т.к. неизвестно истин­ное значение определяемой случайной величины

Из статистических таблиц критерия Аббе для вероятности  = 0.99 или  = 0.95 и п = 50 имеем соответственно контрольные величины _q = 0.68 и _q = 0.77. Так как проверяемое неравенство  > _q выполняется, например, для первой вероятности (1.048 > 0.68), то можно заключить, что с вероят­ностью 0.99 в ряде погрешностей существенные систематические влияния отсут­ствуют. В этом случае преобразовывать ряд по (5) нет необходимости.

3. Исследуем выборку на наличие в ней грубых погрешностей, используя критерий Граббса (6)

где минимальная невязка есть –3.42, максимальная 2.33, средняя квадратическая погрешность т = 1.41, среднее арифметическое 0.05. Из статистических таблиц для коэффициента z_q при вероятностях  = 0.99 или  = 0.95 и п = 50 имеем соответственно контрольные величины z_q = 3.55 и z_q = 3.20. Проверяемое неравенство z_q > z выполняется для максимального и мини­мального значения погрешности как для одной, так и для другой вероятности. Поэтому можно сказать, что с вероятностью 99 % ни левая, ни правая крайние в ряде погрешности не являются грубыми (3.55 > 2.47 и 3.55 > 1.62).

4. Оценки основных характеристик ряда по (7): среднее арифметиче­ское , средняя квадратическая погрешность т = 1.41", оценка дисперсии .

5. Для приближенных критериев соответствия вычислим практические соотношения между тремя видами погрешностей: средней квадратической т, средней абсолютной v и вероятной r, сравнив их с теоретическими значениями. Из (8 -10) имеем т = 1.41", v = 1.09", r = 0.92", k₁ = 1.29 (при теорети­ческом значении 1.25), k₂ = 1.53 (при теоретическом 1.48), k₃ = 1.19 (при теоретическом 1.18). Все абсолютные отклонения между практическими и теоретическими значениями величин меньше допустимых по критерию ничтожных погрешностей 0.04 < 0.139, 0.05 < 0.163, 0.01 < 0.130.

Характеристики формы по (12) будут такими: асимметрия А = – 0.44, эксцесс Е = 0.39, а их ошибки по (13) т_A = 0.35, т_Е = 0.39. Тогда по нера­венствам (11) для вероятности 0.95 и t = 1.96 имеем abs(–0.44) < 0.69 и abs(0.39) < 0.76 для асимметрии и эксцесса соответственно. Это говорит о том, что эмпирическое распределение по отношению к теоретическому на до­пустимую величину скошено вправо (отрицательное) и на допустимую ве­личину выше нормального (положительное).

6-8. Для графического исследования на соответствие нормальному закону распределения рада погрешностей построим гистограмму. Построение начинают с выбора числа интервалов. Для этого можно воспользоваться формулами (14-15), но, как показывает геодезическая практика, количест­во интервалов целесообразно принять равным 12, а величину интервала – 0.5 т. Тогда все значения исследуемых погрешностей будут расположены в промежутке ±3 т (так как по предварительным вычислениям грубых погрешностей у нас в реде не имеется). Далее получают границы интервалов в единицах измерения (для нашего примера в секундах) как произведение границы (от –3, через 0.5, до 3) на среднюю квадратическую ошибку т. Считают количество элементов, попавших в соответствующий интервал (абсолютная частота), и их отношение к общему количеству (относительная частота – по теореме Бернулли оценка вероятности попадания реальных данных в соответствующий интервал) по формуле (16). Для построения гистограммы вычисляют высоту прямоугольника для каждой частоты по (17), которая учитывает величину принятого интервала (у нас в половину средней квадратической ошибки m). Вычисления целесообразно свести в таблицу (табл.2).

Таблица 2

Построение гистограммы эмпирического закона распределения

Интервал в долях т	Интервал в секундах	Количество элементов в интервале nj	Частота	Высота прямо­угольника
–3 –2.5	–4.23" –3.52"	0	0	0
–2.5 –2.0	–3.52 –2.82	1	0.02	0.028
–2.0 –1.5	–2.82 –2.12	2	0.04	0.057
–1.5 –1.0	–2.12 –1.41	3	0.06	0.085
–1.0 –0.5	–1.41 –0.70	6	0.12	0.170
–0.5 0	–0.70 0	10	0.20	0.284
0 0.5	0 0.70	11	0.22	0.312
0.5 1.0	0.70 1.41	9	0.18	0.255
1.0 1.5	1.41 2.12	4	0.08
1.5 2.0	2.12 2.82	4	0.08	0.113
2.0 2.5	2.82 3.52	0	0	0
2.5 3.0	3.52 4.23	0	0	0
		50	1.00	1.417

При этом сумма элементов по интервалам должна равняться общему количеству элементов в ряде; сумма частот равняется единице в пределах ошибки округления; сумма высот прямоугольников равняется 2/т.

Выбрав масштабы по горизонтальной оси для величин интервалов (например, 0.5т – 1 см), по вертикальной для высот прямоугольников (на­пример, 0.05 от–высоты прямоугольника – 1см), откладывают по соответствующим грани­цам вертикальные высоты, которые замыкаются в прямоугольники. Полу­ченный график и будет называться гистограммой (эмпирическим пред­ставлением плотности закона распределения), площадь которого равна единице (рис.1).

9. Для графического сравнения на соответствие эмпирического рас­пределения теоретическому нормальному закону строят на гистограмме его теоретический график (огиву), используя формулы (18 – 18а). Для примера, коэффициент в (18а) K = 0.283, а значения теоретической функции плотности на границах интервалов t будут равны

t 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

 (t) 0.28 0.25 0.17 0.09 0.04 0.01 0.00

По вычисленным данным строят график на гистограмме.

Рис. 1. Гистограмма и огива

10. Визуальный контроль показывает, что явных отклонений эмпи­рического представления закона распределения (гистограммы) и его теоре­тического аналога (огивы) не наблюдается.

11. Наиболее точный критерий соответствия исследуемого ряда нор­мальному закону распределения получим, используя критерий ² Пирсона по формулам (19 – 20). Следует иметь в виду, что все критерии соответст­вия являются частными случаями общего алгоритма статистической проверки гипотез, в основе которой следующие общие пункты: выдвиже­ние с доверительной вероятностью исходной гипотезы; получение теоре­тического значения критерия; по элементам ряда получение практического значения критерия; сравнение двух значений критериев и вывод.

Работу начинают с выдвижения гипотезы: предполагаем, что с веро­ятностью  (например,  = 0.95) ряд погрешностей распределен нормально: Из статистических таблиц распределения ² Пирсона [3, 5] (или из какого либо программного продукта) по числу степеней свободы r = k – l – s находят эталонное значение ²_эт. Для нашего примера число интервалов k = 12, количество определяемых характеристик рас­пределения (среднее арифметическое и средняя квадратическая ошибка) s = 2. Тогда число степеней свободы r = 12 – 1 – 2 = 9, а значение эталонной ве­личины из таблиц ²_эт = 3.32. По формуле (20) вычисляют значения теоретических вероятностей p_j попадания случайной величины в соответст­вующие интервалы t_j и теоретическую частоту np_j присутствия величины в интервале. Найдя поинтервальные разности между практической часто­той n_j и теоретической np_j и используя формулу (19), вычисляют практиче­ское значение величины ² = 4.31. Так как вычисленное значение критерия больше эталонного, то для вероятности  = 0.95 выдвинутая нами гипотеза не соответствует реальным данным. В этом случае, используя те же табли­цы (или программы) распределения ² Пирсона и число степеней свободы r, путем интерпо­лирования получаем вероятность  = 0.90 соответствия выдвинутой гипо­тезе. Все вычисления целесообразно свести в таблицу.

Таблица 3

Вычисление значения критерия соответствия ² Пирсона

Интервал в долях т	0.5Ф(tj)	Pj	nj	nPj	nj–nPj
–3 –2.5	–0.499	0.005	0	0.25	–0.25	0.25
–2.5 –2.0	–0.494	0.017	1	0.85	0.15	0.03
–2.0 –1.5	–0.477	0.044	2	2.20	–0.20	0.02
–1.5 –1.0	–0.433	0.091	3	4.55	–1.55	0.53
–1.0 –0.5	–0.342	0.151	6	7.55	–1.55	0.32
–0.5 0	–0.191	0.191	10	9.55	0.45	0.02
0 0.5	0	0.191	11	9.55	1.45	0.22
0.5 1.0	0.191	0.151	9	7.55	1.45	0.28
1,0 1.5	0.342	0.091	4	4.55	–0.55	0.07
1.5 2.0	0.433	0.044	4	2.20	–1.80	1.47
2.0 2.5	0.477	0.017	0	0.85	–0.85	0.85
2.5 3.0	0.494	0.005	0	0.25	–0.25	0.25
3.0	0.499
		0.998	50	49.9	–3.5	4.31

Таблицу рассчитывать с двумя де­сятичными знаками.

После исследований представляется пояснительная записка по результатам, примерно следующего содержания.

Пояснительная записка

Для эффективной обработки результатов измерений или ряда погрешностей необходимо иметь достаточно точное представление о виде закона распределения погрешностей. Многочисленные практические и теоретиче­ские исследования показывают, что результаты геодезических измерений, в подавляющем большинстве случаев, подчинены закону, очень близкому к нормальному закону распределения Гаусса [1,2,3] и др. Таким образом, исследование выборок на степень соответствия нормальному закону имеет большое значение при обработке результатов измерений и необходимость в его производстве очевидна.

По результатам исследований установлено, что рад является случай­ным, так как его оценка математического ожидания в виде среднего арифметического не превосходит утроенной средней квадратической ошибки, то есть практически равна нулю; количество положительных элементов (24) примерно равно количеству отрицательных (21); число малых элементов (из интервала ± т) равно 36, тогда как теоретическая частота попада­ния в этот интервал [1,3] есть 0.6827  50 = 34.

Подготовительные вычисления показали, что в исследуемой выборке с вероятностью 99 % отсутствуют значимые систематические влияния (формулы (3–4)) и с этой же вероятностью крайние значения вариационно­го ряда не являются грубыми (формула (6)).

Приближенные критерии соответствия нормальному закону, учиты­вающие расхождение между теоретическими и практическими значениями соотношений между средней квадратической, вероятной и абсолютной ошибками (коэффициенты к₁, к₂, к₃), показывают наличие достаточного со­ответствия ряда нормальному закону по этим параметрам (формулы (8 –10)). Приближенные критерии формы также дают пренебрежимо малое отличие выборки от нормальности по асимметрии и эксцессу (формулы (11–13)).

Визуальный анализ гистограммы, представляющей эмпирическое распределение, и огивы, дающей вид теоретического (нормального) закона распределения, показывает их хорошее согласование друг с другом по форме и по вели­чине.

Наиболее точные результаты соответствия исследуемого ряда нор­мальному закону дает критерий ² Пирсона, который учитывает расхож­дение между практическими и теоретическими частотами по всем выде­ленным интервалам. При значении критерия ² = 4.31 вероятность того, что выборка подчинена закону распределения Гаусса, составляет 90 % (формулы (19–20)), что для геодезических приложений (см. раздел 1.6) более чем отличный результат.

Таким образом, выполненные исследования ряда погрешностей на соответ­ствие нормальному закону распределения дают по всем использованным критериям положительные результаты, что позволяет сделать вывод о дос­таточной близости ряда предполагаемому закону и полному использованию для ряда всех формул для характеристик нормального закона.