2.2. Формула трапеций и формула Симпсона

Из предельного соотношения (2.3) следует, что теоретически при больших погрешность в формуле прямоугольников(2.2) будет маленькой. Но в большинстве задач для достижения требуемой точности число разбиений отрезка придется выбирать очень большим. Это может повлечь за собой появление ошибки, связанной с накоплением ошибок округления (если просуммировать 1000 слагаемых, каждое из которых имеет ошибку округления , то суммарная ошибка может составить величину порядка , т.е. хотя каждое слагаемое будет иметь только 5 верных знаков после запятой, однако сумма будет иметь только 2 верных знака после запятой). В связи с этим на практике используются более точные формулы: трапеций и Симпсона.

Для формулы трапеций аппроксимирующая функция выбирается кусочно-линейной: отрезок интегрирования разбивается (как это было указано в п. 2.1) на равных частей точками , и на каждом из отрезков функция есть линейная функция, график которой соединяет точки и , как это указано на рис.2.4.

Т огда есть сумма площадей трапеций , ,ограниченных осью Oх, прямыми , и графиком аппроксимирующей функции (на рис. 2.4 это ломаная АBСDЕ). Следовательно,

Таким образом, формула трапеций имеет вид:

, где (2.4)

С равнивая рис.2.4 и рисунки для формулы прямоугольников, можно ожидать, что при одном и том же формула (2.4) дает меньшую погрешность, чем формула (2.2).

Еще более точной является формула Симпсона. Если в методе трапеций используется приближение подынтегральной функции кусочно-линейной функцией, то в формуле Симпсона используется параболы в качестве аппроксимирующих функций (поэтому его еще называют методом парабол). Рассмотрим принцип построения аппроксимации в методе Симпсона по сравнению с методом трапеций (см. рис 2.5).

Как известно, через любые 3 точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную параболу (если точки лежат на одной прямой, то парабола вырождается в эту прямую). Таким образом, нам следует сначала провести параболу (то есть подобрать коэффициенты квадратичной функции ) через точки A, B, C, затем через точки C, D, E и так далее. На рис. 2.5 сами параболы не нарисованы, потому как они будут располагаться очень близко к точкам графика подынтегральной функции , чего нельзя сказать про рис.2.4, где заметна явная разница между графиками подынтегральной и аппроксимирующей кусочно-линейной функции. Таким образом, для применения метода Симпсона отрезок интегрирования следует всегда разбивать на четное число частей.