5.2. Спектральные характеристики модулированных сигналов

К основным характеристикам модулированных сигналов относятся энергетические показатели и спектральный состав. Первые определяют помехоустойчивость связи, вторые, прежде всего, полосу частот, занимаемую сигналом.

Классический модулятор имеет два входа. На один подается гармонический сигнал-переносчик, на другой – полезный сигнал с кодера. В разд. 4 подробно рассматривались характеристики последнего сигнала, представляя его случайной двоичной последовательностью. Сейчас введем для него другую математическую модель. Предположим, что полезный сигнал представлен двоичной последовательностью: 1, 0, 1, 0 и т. д. Вид такого сигнала и соответствующих ему модулированных сигналов показан на рис. 6.

Перейдем к спектрам модулированных колебаний. Предположим, что полезный сигнал  регулярная импульсная последовательность (рис. 6, а), ее можно представить рядом Фурье [4  7]:

(37)

где a₀/2 = B/2 – постоянная составляющая полезного сигнала;

A_n = 2B/n, _n=/2 – амплитуда и фаза соответствующей n-й гармоники.

Рис. 6. Эпюры модулированных сигналов

Именно под действием этого сигнала меняются параметры переносчика. Таким образом, спектр AM

. (38)

Итоговый спектр АМ-сигнала состоит из несущей частоты и двух боковых полос, содержащих комбинации .

Для определения спектра ЧМ-сигнала воспользуемся линейностью преобразования Фурье. Такой сигнал (рис. 7) представлен в виде суммы двух АМ-колебаний с различными частотами несущих f₁ и f₂:

(39)

К каждому такому АМ-сигналу применим преобразование Фурье (45), и результирующий спектр определится как сумма спектров S₁(j) и S₂(j):

(40) (41)

Итоговый спектр ЧМ содержит несущие частоты ₁, ₂, в окрестностях каждой из которых расположены боковые полосы, состоящие из комбинаций частот и .

Учтите, что такой подход позволяет определить амплитуды составляющих спектра, но простым суммированием нельзя записать временную функцию сигнала, так – как не учтены фазы.

а)

б)

в) Рис. 7. Принцип формирования ЧМ-сигнала

При фазовой модуляции частотный состав колебаний определяется по следующей формуле:

(42)

где  – индекс модуляции;

₁ – частота первой гармоники полезного сигнала.

Итоговый спектр ФМ-сигнала состоит из несущей и двух боковых полос с частотами .

В заключение надо заметить следующее:

1) формулы (37), (40)  (42) в правой части содержат бесконечную сумму гармонических сигналов;

2) для практического использования спектр необходимо ограничить полосой , ограничение проведем по пяти крайним боковым составляющим;

3) для анализа спектра нет необходимости строить по формулам временную функцию сигнала, вполне достаточно провести анализ сумм в правой части упомянутых выражений и вспомнить следующие формулы:

(43)

4) при нахождении полосы частот , занимаемой сигналом, не имеет принципиального значения амплитуда несущей частоты, поэтому примем А₀ = 1 В. Амплитуду полезного сигнала «В» необходимо принять равной уровню логической единицы для серии микросхем, к которой относится выбранный АЦП;

5) из предыдущих расчетов была определена длительность элементарного сигнала кодовой последовательности _i, выдаваемой АЦП. Частота первой гармоники определяет период и чаще всего он равен 2τ_i, тогда

(44)

При другом представлении последовательности будет другим и период.