Глава 8. Колебания и волны

§ 8.1. Гармонические колебания и их характеристики

Колебания – повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.

Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму.

По физической природе различают:

• Механические (звук, вибрация)

• Электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые)

• Смешанного типа — комбинации вышеперечисленных.

По характеру взаимодействия с окружающей средой выделяют:

• Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.

• Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

• Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является, то что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и уравнениями. Осуществляется единый подход к изучению колебаний различной физической природы.

Свободные (собственные колебания) – колебания, которые совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).

Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Гармонические колебания величины s описываются уравнениями тела:

где A – амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины); ω₀ – круговая (циклическая) частота; (φ – начальная фаза в момент времени t = 0); (ω₀ t+ φ) – фаза колебаний в момент времени t.

Период гармонического колебания – промежуток времени T, в течение которого фаза колебания получает приращение 2π, т.е.

Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени:

Единица частоты: герц (1Гц = 1 с^-1).

§ 8.2. Механические гармонические колебания

Смещение колеблющейся точки с течением времени

Скорость колеблющейся точки

Ускорение колеблющейся точки

Амплитуды скорости и ускорения соответственно равны Aω₀ и . Фаза скорости отличается от фазы смещения на , а фаза ускорения на π. В моменты времени, когда x = 0, скорость v приобретает наибольшее значение; когда же x достигает максимального отрицательного значения, то a приобретает наибольшее положительное значение (рис. 8.1).

Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку:

Рис. 8.3

E_p

0

E

E_к

E

0

Рис. 8.4

Рис. 8.2

x

+A

0

-A

а

0

x

+A

0

-A

υ

+Aω₀

0

-Aω₀

Рис. 8.1.

Рис. 8.3

E_p

0

E

E_к

E

0

Рис. 8.4

Рис. 8.2

x

+A

0

-A

а

0

x

+A

0

-A

υ

+Aω₀

0

-Aω₀

Рис. 8.1.

Сила пропорциональна смещению материальной точки и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия) (рис. 8.2).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

(рис. 8.3).

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,

(рис. 8.4)

Гармонические колебания совершаются под действием упругой силы F.

Полная энергия