§ 1.3. Скорость

Скорость - векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент времени.

Единица скорости: метр в секунду (м/с).

Рис. 1.5

∆s

B

A

O

Рис. 1.5

∆s

B

A

O

Модуль мгновенной скорости

где - элементарное перемещение точки за промежуток времени ∆t; - радиус-вектор точки; ∆s - путь, пройденный точкой за промежуток времени ∆t.

Средняя скорость движущейся точки за промежуток времени ∆t - векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло:

Направление вектора средней скорости совпадает с направлением (см. рис. 1.5).

Модуль средней скорости

Проекции скорости точки на оси координат

Рис. 1.6

y

x

O

α

Рис. 1.6

y

x

O

α

§ 1.4. Ускорение и его составляющие

Ускорение - характеристика неравномерного движения. Определяет быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Единица ускорения: метр на секунду в квадрате (м/с²).

Среднее ускорение неравномерного движения за промежуток времени ∆t - векторная величина, равная отношению изменения скорости ∆ к промежутку времени ∆t, за которое это изменение произошло:

Мгновенное ускорение - векторная величина, определяемая первой производной скорости по времени:

Составляющие ускорения:

• тангенциальная - характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории (рис. 1.7)):

• нормальная - характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории (рис. 1.7)):

где r - радиус кривизны траектории в данной точке.

Полное ускорение при криволинейном движении:

Рис. 1.7

Рис. 1.7

§ 1.5. Виды механического движения

Равномерное прямолинейное движение - движение, при котором материальная точка (тело) за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.

Скорость равномерного движения

Классификация движения в зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения

aτ	an	Движение
0	0	прямолинейное равномерное
aτ = a = const	0	прямолинейное равнопеременное
aτ = f (t)	0	прямолинейное с переменным ускорением
0	const	равномерное по окружности
0	≠0	равномерное криволинейное
const	≠0	криволинейное равнопеременное
aτ =f (t)	≠0	криволинейное с переменным ускорением

Вектор скорости совпадает по направлению с вектором перемещения.

Равномерное прямолинейное движение - движение с постоянной и по модулю и по направлению скоростью = const.

Вектор скорости у направлен вдоль траектории. График зависимости скорости от времени дан на рис. 1.8.

В случае равномерного прямолинейного движения

Если движение происходит вдоль оси х, то проекция перемещения на ось равна х - х₀ = υ_xt и уравнение движения примет вид:

х = х₀ + υ_xt ,

где х₀ - координата тела в начальный момент времени; υ_x - проекция вектора скорости на ось х; t - время движения тела.

Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки вдоль оси х

х = х₀ + υ_xt

- решение основной задачи кинематики.

Рис. 1.8

x

0

t

x₀ = 0

_x > 0

Рис. 1.9

x

0

t

x₀ ≠ 0

_x > 0

Рис. 1.8

x

0

t

x₀ = 0

_x > 0

Рис. 1.9

x

0

t

x₀ ≠ 0

_x > 0

Пройденный телом путь за промежуток времени от t₁ до t₂ определяется площадью фигуры, ограниченной графиком зависимости υ(t) и прямыми t=t₁ и t=t₂(в случае равномерного движения определяется площадью заштрихованного прямоугольника) (рис.1.10).

Рис. 1.10

0

t

t₂

t₁

Рис. 1.10

0

t

t₂

t₁

Равнопеременное прямолинейное движение

Равнопеременное прямолинейное движение - движение, при котором скорость материальной точки (тела) за любые равные промежутки времени изменяется на равные величины.

За промежуток времени ∆t = t – t₀ изменение скорости ∆ = ₀:

или

При t₀ =0, т. е. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением = const

Вектор ускорения направлен вдоль траектории точки.

Равноускоренное прямолинейное движение - движение, при котором направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости точки.

Модуль скорости в данном случае с течением времени возрастает.

Равнозамедленное прямолинейное движение - движение, при котором направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости .

Модуль скорости в данном случае с течением времени уменьшается.

Графики зависимости ускорения тела от времени представлены на рис. 1.11.

Проекция вектора скорости на ось х

График зависимости проекции вектора скорости на ось х от времени дан на рис. 1.12.

Рис. 1.12

0

t

Рис. 1.12

0

t

Рис. 1.11

0

t

0

t

Рис. 1.11

0

t

0

t

Вектор перемещения ∆ материальной точки за ∆t = t – t₀ при равнопеременном прямолинейном движении

где вектор начальной скорости.

Проекция вектора перемещения на ось x при

Равноускоренное прямолинейное движение

Скорость

где начальная скорость (в момент времени ); - вектор ускорения; - скорость в произвольный момент времени t.

Проекция скорости на ось х

При движении в положительном направлении оси х

Координата

Частные случаи:

• движение без начальной скорости () из начала координат ()

• движение с начальной скоростью () из начала координат ()

Графики зависимости координаты и скорости движения тела от времени представлены на рис. 1.13.