Лабораторная работа № 11. Изучение свободных и вынужденных колебаний торсионного маятника

Цели работы

Исследование свободных, затухающих и вынужденных колебаний торсионного маятника.

Решаемые задачи

• Знакомство с основными понятиями физики колебаний;

• Измерение собственной частоты торсионного маятника;

• Измерение коэффициента затухания торсионного маятника;

• Запись зависимостей колебаний маятника от частоты вынуждающей силы.

Введение

Колебания торсионного маятника описываются формулой

, (1)

где ‑ циклическая частота затухающих колебаний, ω₀ – собственная циклическая частота маятника, β - коэффициент затухания. Если β = 0 колебания называются свободными. В случае наличия сил трения амплитуда колебаний затухает, и коэффициент затухания β удовлетворяет уравнению:

(2)

где T_D = 2/_D - период колебаний, а _n+1 и _n – амплитуды двух последовательных качаний. Измерив T_D и β, используя связь

, (3)

можно определить собственную частоту ω₀.

Вынужденные колебания торсионного маятника возбуждаются моментом внешней силы с частотой ω и угловой амплитудой α₀. По прошествии времени порядка 1/ маятник будет качаться на частоте ω с постоянной амплитудой, определяемой соотношением

, (4)

В данном случае φ₀ называют амплитудой вынужденных колебаний.

Экспериментальная установка

Приборы и принадлежности

• торсионный маятник (1) с электромагнитом в виде катушки и мотором, создающий осциллирую силу;

• источник постоянного тока электромагнитной катушки торсионного маятника (2);

• источник постоянного тока мотора маятника (4);

• секундомер, кабели красный и синий 100 см.

Рис.1

Торсионный маятник может использоваться для изучения свободных и вынужденных вращательных гармонических колебаний. Электромагнитная катушка с током показать тормозит (демпфирует) эти колебания в тем большей степени, чем больший ток по ней течёт. Кроме того, торсионный маятник может возбуждаться осциллирующей силой посредством эксцентрической тяги показать, управляемой мотором. Число оборотов эксцентрической тяги мотора может меняться двумя ручками: грубой и точной настройки.

Для того чтобы получить свободные или затухающие колебания, нужно изменить коэффициент затухания β от нуля до некоторой величины, управляя силой тока I, текущего по катушке. Максимальная величина тока соответствует апериодическому случаю.

Порядок выполнения работы

Упражнение 1. Определение собственной частоты торсионного маятника.

В данном упражнении необходимо, во-первых, проверить справедливость уравнения (1) в случае свободных и затухающих колебаний торсионного маятника. Во-вторых, рассчитать коэффициент затухания по формуле (2) в процессе уменьшения угловой амплитуды колебаний и определить собственную частоту торсионного маятника. Для этого:

1. Включите источник постоянного тока (2) в сеть переменного тока 220 В. Дайте прибору прогреться 2-3 минуты.

2. Вращая ручку V на источнике тока (2), установите ток, подаваемый на электромагнит демпфирующей катушки, например, 0,2 А. При этом ручку А надо установить в крайне правое положение.

3. Установите белый указатель на маятнике на некоторый угол. Запишите угловую амплитуду. Отпустите указатель и считывайте угловую амплитуду с той же стороны шкалы после каждого периода колебаний (в случае слабого демпфирования зафиксируйте амплитуду N штук (5 - 10) колебаний).

4. Одновременно, измерьте несколько раз длительность этих N штук колебаний t_N.

5. Увеличьте ток в демпфирующей катушке. Повторите пункты 3 и 4 и проведите статистическую обработку данных. (Внимание! Величина тока на демпфирующей катушке не должна превышать 2 А)

6. Рассчитайте частоты затухающих колебаний ω_D, и по формулам (2) и (3) определите коэффициент затухания β и собственную частоту торсионного маятника.

7. Результаты измерений и расчетов удобно представить в виде таблицы. Например, для одного значения тока на демпфирующей катушке.

N

tN, с

TD=tN/N, с

ωD=/ TD

φn

φn+1

φn+1

Упражнение 2. Построение резонансных кривых для различных коэффициентов затухания

В этом упражнении для нескольких значений коэффициента затухания β, полученных в первом упражнении, строятся зависимости максимальной угловой амплитуды φ₀ от частоты вынуждающей силы ω.

8. Включите источник постоянного тока (2) в сеть переменного тока 220 В. Дайте прибору прогреться 2-3 минуты.

9. Поверните ручку V на источнике тока (2) в крайне положение влево, в этом случае ток, подаваемый на электромагнит демпфирующей катушки, будет равен нулю.

10. Установите ручку грубой настройки 4 (см. рис. 2), например, в положение 10.

11. Измерьте секундомером время одного полного оборота эксцентрической тяги мотора (белый треугольник проходит указатель один раз, см. рис. 2). В случае большой частоты вращения мотора, измерьте секундомером время 10-ти оборотов белого треугольного указателя.

12. Определите период и частоту эксцентрической тяги мотора, т. е. период и частоту вынуждающей силы.

13. Для этой частоты вынуждающей силы запишите максимальную угловую (влево и вправо от равновесного положения) амплитуду колебаний маятника.

14. Повторите пункты 3-6, изменяя число оборотов эксцентрической тяги мотора, т.е. вращая ручки грубой и тонкой настройки 4 на рис.2.

15. Повторите пункты 3-7 при большем токе DC, например, при 0,4 А и 0,79 А. ВНИМАНИЕ! Величина тока на демпфирующей катушке не должна превышать 2 А.

16. Результаты измерений и расчетов удобно представить в виде таблицы. Например, для одного значения тока I на демпфирующей катушке.

    Число измерений	Число пол. оборотов.	Время в с.	Период враш. в с.	Частота 1/с	Угловая амп. в гр.
    	N	t	T	ω	0

17. Постройте графики зависимостей максимальной амплитуды ₀ колебаний маятника от квадрата частоты ω² вынуждающей силы при различных коэффициентах затухания β. Сравните экспериментальные графики с теоретическими кривыми, полученных из формулы (4). Объясните результат.

Рис. 2.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12. КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Цель работы состоит в том, чтобы наблюдать синфазные, противофазные и связанные колебания в системе двух идентичных связанных маятников. Угловые частоты ω₊, ω_‑ ω_S и ω вычисляются из периодов колебаний T₊, T_‑, T_S и T, которые измеряются с помощью секундомера и сравниваются друг с другом.

Когда два связанных идентичных маятника колеблются в фазе с угловой частотой ω₊, то они отклонены от положения равновесия на одну и ту же величину. Когда второй маятник отклонен в противоположном направлении на тот же угол, эти два маятника колеблются в противофазе с угловой частотой ω_‑. Колебания в противофазной моде зависят от растяжения нити и массы дополнительного грузика (см. рис.2). Поэтому её частота ω_‑ больше, чем частота синфазной моды ω₊, причем разница между этими частотами тем существенней, чем больше масса дополнительного груза и расстояние h от точек подвеса до точек закрепления нитей. В общем случае колебания связанных маятников представляют собой суперпозицию двух описанных выше синфазных и противофазных колебаний, которые называются симметричными и антисимметричными нормальными модами.

Отклонение только одного маятника на некоторый угол вызывает связанное колебание с угловой частотой

. (1)

В этом случае энергия колебания может перераспределяться последовательно между двумя маятниками. Вначале амплитуда колебаний первого маятника медленно затухает и в момент времени обращается в нуль. Амплитуда колебаний второго маятника, наоборот, нарастает и в этот же момент времени достигает максимального значения φ₀ (рис.1). Затем процесс начинает идти в обратном порядке: колебания первого маятника нарастают, второго ‑ затухают, т.е. происходит периодическая перекачка энергии колебаний от одного маятника к другому и обратно. Такие колебания называют биениями. Период биений Т_S равен

. (2)

Достаточно полное изложение теории колебаний в системе связанных маятников и её обобщение на системы с большим числом степеней свободы можно найти в литературе [1,2].

Рис. 1. Биения в системе двух идентичных связанных маятников.

Экспериментальная установка

Установка состоит из двух идентичных физических маятников (рис.2), представляющих собой массивные стержни 1, длиной 85 см, на которых закреплены грузы 2. Масса стержня составляет 325 г., масса груза ‑ 480 г. Грузы могут перемещаться вдоль стержня. Маятники соединены нитью 3. Точки закрепления нити могут перемещаться вдоль стержня. Масса дополнительного груза 4 на нити равна 20 г.

Порядок выполнения работы

18. 

    Рис. 2

    Соединить маятники нитью на одинаковых расстояниях h от точек подвеса.

19. Определить период T₊ и частоту ω₊ симметричной нормальной моды. Для возбуждения симметричной моды маятники отклоняются от положения равновесия в одну сторону на небольшое расстояние 3‑5 см и отпускаются без начального толчка. Измеряется время t₊, в течение которого они совершат N₊ полных колебаний (N₊ =30 ÷ 50). По этим данным рассчитывается период и частота .

20. Повторить действия, описанные в п. 2. для антисимметричной нормальной моды. При этом маятники отводятся от положения равновесия в разные стороны и отпускаются без начального толчка. Измеряется время t_‑, в течение которого совершаются N_‑ полных колебаний, далее рассчитывается период и частота .

21. Повторить действия, описанные в п.п. 2,3 для других значений параметра h, всего провести не менее 15 измерений.

22. По данным п.п. 2‑4 рассчитать период биений по формуле (2).

23. Измерить период биений, для чего отклонить один из маятников от положения равновесия на расстояние 3 ‑ 5 см. удерживая второй в положении равновесия. После этого первый маятник отпускают без начального толчка. Измерить время t, через которое первый маятник остановится, и рассчитать период и частоту биений .

24. Результаты измерений представить в виде Таблицы 1.

    h, см	t+, c	N+,	T+, с	ω+, c‑1	t‑, с	N‑,	T‑, с	ω‑, c‑1	T, c (расчет)	T, c (эксп.)

25. Построить графики зависимости периодов симметричной и антисимметричной моды от h. Рекомендуется нанести оба графика на один рисунок. Сравните качественный характер этих зависимостей с предсказаниями теории (см. формулы для нормальных частот в литературе [1,2]).

26. Построить график зависимости периода биений Т_S от h. На этот же график нанести зависимость T_S(h), полученную путем расчетов (см. п. 5). Сопоставить оба графика.

27. Рассчитать теоретически момент инерции маятника и, пользуясь данными измерений нормальных частот (п.п. 2‑4), определить силу натяжения нити.

Литература

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. I. Механика. - М.: Наука. 1974. -Гл. I.

2. Трубецков Д.И., Рожнёв А.Г. Линейные колебания и волны. - М.: Физматлит. 2001.-Гл. 8.