Оценка погрешностей определения коэффициентов корреляции
При малых выборках, когда стандартная ошибка определения коэффициента парной корреляции вычисляется по формуле:
.
Стандартная ошибка определения корреляционного отношения R, вычисляется при по формуле:
, где N – число выборки, K – число факторов.
.
Достоверность расчёта коэффициента корреляции высока.
.
Если , то выборочная оценка коэффициента корреляции приемлема: 0,96 > 0,27 .
В силу линейности регрессии корреляционное отношение не даёт дополнительной информации.
Коэффициент корреляции позволяет сделать вывод о целесообразности использования уравнения регрессии.
Если и , то производственную функцию можно представить в форме линейной регрессии.
Для более полной оценки погрешности необходима оценка закона распределения коэффициентов корреляции.
При малом объёме выборки и сильной корреляции закон распределения коэффициента корреляции отличается от нормального, в этом случае используется статистика Фишера.
Доверительный интервал для коэффициента r0 в генеральной совокупности определится соотношением (случай , ):
,
где ;
,
tp – находится с помощью таблиц значений функции Лапласа по уровню доверительной вероятности;
р – уровень доверительной вероятности.
Для ориентировочной оценки доверительных интервалов для r0 в случае , для грубых оценок доверительных интервалов можно использовать, соотношение:
.
Если возьмём уровень доверительной вероятности 80% ( ), тогда значение из таблицы функции Лапласа будет равно .
Доверительный интервал для коэффициента корреляции определится соотношением
Оценка значимости представления производственной функции или оценка адекватности выбранной сглаженной зависимости реальной стохастической зависимости результата уj от фактора j.
Степень влияния производственного фактора j на результат производства уj определим на основе дисперсий отклонений сглаженных значений от среднего наблюдаемого и отклонений наблюдаемых величин уj от сглаженных значений , т.е. от линии регрессии (Дост).
Дисперсии вычисляются по формулам:
; .
; .
Помимо указанных дисперсий вводится их сумма:
; .
Для линейной регрессии:
; .
Коэффициент детерминации В характеризует какая доля изменений величины у обусловлена изменением фактора х.
, тогда .
Величина (1-В) – характеризует долю изменений величины у от влияния неучтённых факторов. Коэффициент детерминации В=0,94 показывает, что 90% изменений величины у вызвано изменением производственного фактора х, а (1-В)=1-0,90=0,10, т.е. 10% обусловлены влиянием неучтённых факторов. В случае линейной регрессии ; ; .
- стандартное отклонение уj от поверхности регрессии.
Выборочная оценка дисперсии отклонения случайной величины уj от линии регрессии равна
;
;
.
Несмещённая выборочная оценка стандартного отклонения величины уj от линии регрессии составляет 0,4, т.е. находится в пределах от значений величины , полученных из уравнения регрессии. изменяется (см.таблица 2) от 9,22 до 14,28, что составляет 4,3 и 2,8%:
9,22 – 100 % 14,28 – 100%
0,4 – х 0,4 –х
х=4,3% х=2,8%.
Проблема достаточности данных
При случае малых выборок необходимо обеспечить выполнения условия:
, где L – число параметров; т.е. число выборки должно превышать количество параметров хотя бы на 10.
Для нашей задачи минимально необходимый объём выборки 2+10=12.
Экономические характеристики производственных функций
Дополнительный продукт фактора (предельная производительность) определяется производной:
(при фиксации всех остальных факторов).
Для линейной зависимости у = a0+a1x
,
Дi равен приросту продукции за счёт увеличения i-го фактора на единицу и характеризует тем изменения у в данной точке при изменении фактора хi .
Дополнительный продукт фактора для линейной регрессии есть const, равная .
Средняя производительность
– средний темп изменения у при увеличении фактора от нуля до заданного значения хi .
.
при
;
при ;
при
.
Коэффициент эластичности
Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен:
Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится результат производства( у) при изменении фактора (х) на 1%.
При , коэффициент эластичности равен:
, т.е. при изменении фактора на 1% результат изменится на 0,21%.
при х=52
.
Коэффициент эластичности:
;
при х=50 коэффициент эластичности равен
,
т.е. при изменении (х) на 1% величина (у) изменится на 0,76%.