ВВЕДЕНИЕ.

Элементы векторной алгебры.

Все физические величины делятся с математической точки зрения на скалярные и векторные.

Скалярные величины (скаляры) характеризуются только численными значениями и могут быть положительными или отрицательными.

Примеры: время t, масса m, электрический заряд q и др.

Скаляр может быть изображен геометрически в виде точки на числовой оси.

Векторные величины (вектора) характеризуются численным значением (модуль вектора) и направлением.( скорость , ускорение , сила и др).

Геометрически вектор изображается как направленный отрезок прямой.

В тексте вектор пишется буквой со стрелкой или жирным шрифтом.

Операции с векторами

1 Сложение векторов

а) правило параллелограмма:

- совмещаем начала векторов a и b в одной точке;

достраиваем получившуюся фигуру до параллелограмма,

д иагональ параллелограмма выходящая из общей вершины

есть вектор суммы и .

б) правило треугольника (может быть использовано для n-векторов):

к концу присоединяется начало ,

вектор , начало которого совпадает с началом , а конец с концом , является суммой векторов и .

Численное значение вектора суммы ищем по теореме косинусов

, где угол между векторами и .

2. Вычитание векторов можно рассматривать как действие, обратное сложению

и пользоваться названными выше правилами:

-совмещаем начала векторов и в одной точке,

-1-

вектор разности соединяет концы и , и направлен в сторону уменьшаемого вектора.

Численное значение вектора разности

, где

Говоря о разности векторов, введем понятие изменение вектора

3. Разложение вектора на составляющие.

В физическом трехмерном пространстве вектор можно разложить на составляющие по трем произвольно заданным направлениям, т.о. что сумма трех составляющих векторов есть исходный вектор

Пример. Разложим вектор по двум заданным направлениям АВ и СD. двухмерного пространства:

1. Ч ерез начало и конец проведем прямые линии, параллельные АВ и CD

2. Стороны этого параллелограмма и и есть составляющие вектора .

В случае трехмерного пространства вместо параллелограмма следует построить параллелепипед.

4. Проекции вектора на оси координат

1. Р азложим по составляющим по заданным направлениям ОХ и ОY ( , – составляющие )

-2-

2.Из точек начала и концов и опустим на оси координат перпендикуляры, которые выделяют на них отрезки и – проекции вектора .

Численное значение проекции вектора на оси координат определяется по формулам:

,

где – угол между и положительным направлением OX, а – угол между и положительным направлением OY. Проекция вектора - число. Оно может быть положительным, если угол острый и отрицательным, если угол тупой.

5.Умножение вектора на скаляр (в результате получаем вектор), ,если положительное число, то направление , если отрицательно, то направление меняется на противоположное .

6.Скалярное умножение векторов (в результате получаем скаляр). Обозначение:

Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними.

,где – угол между векторами и .

7.Векторное умножение векторов (в результате получаем вектор). Обозначение:

а) величина , где – угол между и , отсчитываемый от к против часовой стрелки;

б) вектор перпендикулярен к перемножаемым векторам, т.е. к плоскости, в которой эти вектора расположены. Направление ищем по правилу буравчика: рукоятку буравчика вращают от первого сомножителя ко второму по наикратчайшему пути, тогда движение острия буравчика, установленного в точке общего начала векторов, дает направление вектора векторного произведения

-3-

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ.

Кинематика – это раздел механики, изучающий параметры движения, связь между ними и основные законы движения без рассмотрения причин, их вызывающих.

1. Материальная точка – любое реально существующее тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

2. Траектория – линия, которую описывает материальная точка в пространстве с течением времени. Положение материальной точки в пространстве может быть определено радиус-вектором или координатами в выбранной системе отсчета.

3 . Система отсчета – совокупность системы координат, тела отсчета и начала отсчета времени.

3. Радиус-вектор соединяет тело отсчета и движущуюся материальную точку – .

5. Вектор перемещения соединяет начальное и конечное положения точки – . Изменение радиус-вектора точки равно вектору перемещения за то же время: . Радиус-вектор в прямоугольной системе координат где – проекции радиус-вектора на координатные оси, x,y-координаты точки.

4. Путь – расстояние, проходимое точкой вдоль траектории. Длина вектора перемещения равна пройденному пути только при прямолинейном однонаправленном движении.

5. Скорость характеризует быстроту изменения радиуса вектора точки:

– средняя скорость перемещения (вектор);

– средняя скорость движения (скаляр).

– мгновенная (истинная) скорость, равна производной от радиус-вектора по времени, направлена по касательной к траектории.

,

где – характеризует быстроту изменения радиус-вектора по модулю, направлена вдоль радиус-вектора (тангенциальная составляющая);

-4-

– характеризует быстроту изменения радиус-вектора по направлению, направлена перпендикулярно радиус-вектору (нормальная составляющая).

Ускорение характеризует быстроту изменения вектора скорости: ,

– характеризует быстроту изменения вектора скорости по модулю;

– характеризует быстроту изменения вектора скорости только по направлению;

– равна производной от модуля скорости;

, где R радиус кривизны траектории.