Часть 1 Занятие 1. Тема: «Двойной интеграл. Повторное интегрирование».

1. Определение двойного интеграла. Пусть функция определена на измеримом по Жордану множестве на плоскости . Разобьем на измеримых по Жордану и попарно непересекающихся частей . В каждой части возьмем произвольную точку и составим сумму

,

где - площадь . Эта сумма называется интегральной суммой функции соответствующей данному разбиению множества на части и данному выбору промежуточных точек .

Диаметром множества точек назовем точную верхнюю грань расстояний между двумя произвольными точками этого множества: .

Пусть .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при если такое, что для любого разбиения , у которого , и для любого выбора промежуточных точек выполняется неравенство .

Если существует , то он называется двойным интегралом от функции по множеству и обозначается или , а функция называется интегрируемой на множестве .

Теорема 1.1 Функция, непрерывная на измеримом по Жордану компакте , интегрируема на этом компакте.

Теорема 1.2 Пусть функция ограничена на измеримом по Жордану компакте и множество ее точек разрыва имеет жорданову меру нуль. Тогда функция интегрируема на .

Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.п.).

Пример 1.1. Вычислить интеграл , рассматривая его как предел интегральных сумм при сеточном разбиении квадрата на ячейки – квадраты со сторонами длиной и выбирая значение подынтегральной функции в правых верхних вершинах этих квадратов.

∆ Разбиение области интегрирования на ячейки проводится прямыми , значение функции в правой верхней вершине ячейки равно . Очевидно, что диаметр разбиения (диагональ квадрата со стороной ) при . Следовательно,

.

Учитывая, что сумма первых натуральных чисел равна , получим . ∆

2. Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования. Пусть функция определена в области , где - непрерывные функции на отрезке (рис. 1.1). Такую область назовем элементарной относительно оси (или – трапециевидной).

Теорема 1.3 Пусть:

1) существует двойной интеграл ;

2) существует определенный интеграл .

Тогда существует определенный интеграл

(он называется повторным) и справедливо равенство

, (1.1)

т.е. двойной интеграл равен повторному.

y

Рис.1.1 Рис. 1.2

Если область является элементарной относительно оси (рис. 1.2), то при соответствующих условиях справедлива формула, аналогичная (1.1):

. (1.2)

Область более сложного вида часто удается разбить на элементарные области, к которым применима формула (1.1) или (1.2) (рис 1.3).

Рис. 1.3

Пример 1.2 Свести двойной интеграл к повторному двумя способами, если - область, ограниченная кривыми .

∆ Область изображена на рис 1.4а).

1 1

а) б)

Рис. 1.4

При каждом значении переменная изменяется от до , т.е. область можно представить в виде . По формуле (1.1) получаем .

Чтобы воспользоваться формулой (1.2), надо область разбить на две части и , как показано на рис 1.4б). В области переменная меняется от -1 до 0, при каждом значении переменная изменяется от до 1. В области переменная меняется от 0 до 1, при этом переменная изменяется от до 1. По формуле (1.2) получаем

. ∆

Пример 1.3 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

.

∆ Область можно представить следующим образом (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Если переменная x изменяется от до , то , если меняется от до , то . Кривые пересекаются в точке . Таким образом, переменная меняется от до . Найдем, в каких пределах меняется переменная . Для этого разрешим выражения для и относительно :

.

Применяя формулу (1.2), будем иметь:

. ∆

Пример 1.4 Вычислить , где - треугольник, ограниченный прямыми .

∆ Треугольник изображен на рис. 1.6.

Рис. 1.6

Отрезком разделим на два треугольника и , элементарных относительно оси . Тогда . По формуле (1.1) находим

= ,

= ;

следовательно, . ∆

Пример 1.5 Вычислить , где – задано неравенствами .

∆ Область – неконцентричное кольцо - изображена на рис. 1.7.

3

Рис. 1.7

Обозначим - круг , - круг . Тогда . Продолжим функцию с на , полагая для . Тогда

.

Круги и зададим в виде . По формуле (1.2) находим

,

так как функция во внутреннем интеграле нечетна.

. Следовательно, . ∆

Перемена порядка в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.

Пример 1.6 Вычислить .

∆ Внутренний интеграл не является элементарной функцией . Изменим порядок интегрирования. Пределы интегрирования в данном повторном интеграле определяет треугольник (рис. 1.8), который можно задать и неравенствами .

Рис. 1.8

Следовательно, . ∆