1.2. Операції з множинами

Рівність множин. Множини А і В рівні тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини А є елементом множини В, і навпаки, кожний елемент множини В є елементом множини А, тобто

А  В і В  А

Рівність множин А і В показана за допомогою діаграми Ейлера-Вена (рис.1.2).

S

s

Рис.1.2. Рівність множин

Об'єднання множин. Об'єднанням або сумою двох множин А и В називається множина, що складається з усіх елементів, кожний із який належить хоча б одному з даних множин (рис.1.3).

Виконуються закони:

S 1. Асоціативний

(АВ)С=А(ВС)=АВС.

А 2. Комутативний

АВ=ВА; АА=А;

Рис.1.3. Об'єднання множин А=А;

АS=S; АВ=А, якщо В  А.

Перетинання множин. Перетинанням або добутком двох множин називається множина, що складається із усіх тих елементів, які належать обом множинам (рис 1.4). Для цієї операції праведливі комутативний і асоціативний закони. Зокрема:

S

А А(ВС)=(АВ)(АС).

У

Рис.1.4. Перетинання множин

Дві множини А і В є взаємовиключальними, або несумісними, якщо АВ=.

Доповнення множин. Доповненням множини А називається множина, у якій містяться всі елементи простору S, крім тих, що належать множині А. Воно позначається через А (рис.1.5).

Справедливими будут такі

S вирази

А А =S; S=; (A)= ; AA=S;

A A=;

Рис.1.5. Доповнення множин A B при ВА;

A =B, якщо А=В.

Крім того, справедливі закони де - Моргана:

(АВ)=А В; (АВ)=А В.

Різниця множин. Різниця А-В множин А і В є множина, що складається з елементів множини А, які не належать множині В ( рис.1.6)

A - B=A \ B=A B=A - (AB).

A S (читаємо “A без B”).

А-В

В

В-А

Рис.1.6. Різниця множин

З останньої діаграми виведені такі співвідношення

А -  = А, А - S = , S - A =A.

Вираз, де є різниця, необхідно записувати зі скобками.

Описані вище операції з множинами продемонструємо прикладом. Припустимо, що елементи простору S - натуральні числа від 1 до 6, тобто S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, визначимо такі підмножини

А={2, 4, 6}; B={1, 2, 3, 4}; C={1, 3, 5}.

З огляду на наведені співвідношення можна записати:

(АВ)={1, 2, 3, 4, 6}, (BC)={1, 2, 3, 4, 5},

(ABC)={1, 2, 3, 4, 5, 6}=S=AC,

AB={2, 4}, BC={1, 3}, AC=,

ABC=,A={1, 3, 5}=C, B={5, 6},

C={2, 4, 6}=A, A-B={6}, B-A={1, 3},

A-C={2, 4, 6}=A, C-A={1, 2, 5}=C,

B-C={2, 4}, C-B={5}.

Для закріплення матеріалу рекомендується проілюструвати наведені вище операції з використанням діаграм Ейлера – Вена.