2.1.1 Кристаллографические символы

Символы узла. Положение любого узла в пространственной решетке можно определить с помощью трех чисел m, n, p – символов узла, которые обычно заключаются в двойные квадратные скобки [[m, n, p]]. Символы узла, рис. 6 определяют число трансляций, которые необходимо отложить от начала координат, чтобы попасть в рассматриваемый узел.

Символы узловой прямой. Положение любого кристаллографического направления, рис. 7 можно однозначно определить координатами двух узлов – одного, расположенного в начале координат, другого – ближайшего к началу координат.

Рис. 6. Символы узла

 

Указав лишь координаты второго узла, вполне определим направление прямой в пространственной решетке. Например, направление 1 на рис.7 – [110], а направление 2 – [120]. Символы прямой обозначаются u, v, w и заключаются в одинарные квадратные скобки [u, v, w].

Символы кристаллографических плоскостей. Плоскость отсекает по осям координат отрезки m_x, n_y, p_z. На рис. 8 m_x=2, n_y=2, p_z=3.

Рис. 8 Связь между количеством отрезков, отсекаемых плоскостью по осям, и индексами плоскости 

Чтобы найти значение индексов плоскости, нужно найти значения отрезков, отсекаемых плоскостью по координатным осям, и взять обратные значения этих чисел:

Индексы получились дробными числами, значит, и как видно из рис.3.4, из данного семейства плоскостей была взята плоскость, не ближайшая к началу координат. Ее легко найти, если 'полученные индексы привести к общему знаменателю и оставить только числители [1]:

Символы данного семейства плоскостей будут (332)

Индексы плоскости обозначаются H, K, L заключаются в круглые скобки (Н, К, L) и называются индексами Миллера.

Некоторые кристаллографические формулы. Каждый кристалл характеризуется кристаллографически идентичными плоскопараллельными семействами плоскостей. Каждое семейство плоскостей с индексами (Н, К, L) характеризуется своим межплоскостным расстоянием d, т.е. расстоянием между двумя соседними параллельными плоскостями. В случае простого куба, как это показано на рис. 9, где а = в = с, межплоскостное расстояние для совокупности плоскостей [100] равно "a", d = a.

Рис. 9. К иллюстрации понятия межплоскостного расстояния

  Совокупность идентичных семейств плоскостей обозначается фигурными скобками. Так, в кубической сингонии совокупность плоскостей куба [100] содержит шесть кристаллографически идентичных семейств плоскостей: (100), (-100), (010), (0-10), (001), (00-1). Знак "минус" ставят тогда, когда плоскость пересекает кристаллографическую ось в отрицательном направлении, как это показано на рис. 10. Между индексами Миллера (Н, К, L), величиной межплоскостного расстояния d и периодами решетки а, в, с существует математическая зависимость, различная для каждой сингонии:

Кубическая сингония                     (1)

Тетрагональная сингония            (2)

Гексагональная сингония                      (3)

Ромбическая сингония                                [3]    (4)

 

Рис. 10. К пояснению связи между направлением и индексами плоскости