§ 3. Преобразование координат при преобразовании базиса

- мерного линейного пространства.

1.Прямое и обратное преобразование базисов. Пусть и - два произвольных базиса - мерного линейного пространства . Как всякий элемент пространства , каждый элемент может быть разложен по базису . Предположим, что элементы базиса выражаются через элементы по формуле:

(2.3.1.)

Формула (2.3.1.) означает, что переход от первого базиса ко второму задается матрицей:

(2.3.2.)

Определитель матрицы не равен нулю , ибо, в противном случае, в силу теоремы 1.7 строки матрицы были бы линейно зависимыми, тогда линейно зависимыми были бы и элементы , что невозможно, так как они образуют базис мерного пространства.

Докажем, что обратный переход от второго базиса к первому осуществляется с помощью матрицы , обратной к :

. (2.3.3)

Для этого умножим поочередно уравнения системы (2.3.1) на . В результате, получим:

. (2.3.4)

Сложив все уравнения системы (2.3.4), получим ( ):

. (2.3.5)

Согласно свойствам определителей, сумма:

. (2.3.6)

Поэтому система уравнений (2.3.5) перепишется в виде:

, (2.3.7)

где - символ Кронекера. Выражая из (2.3.7), получим формулы обратного преобразования:

. (2.3.8)

Из (2.3.8) видно, что обратное преобразование от второго базиса к первому генерируется матрицей (2.3.3), обратной к (2.3.2).

2. Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат. Установим теперь формулы, по которым преобразуются координаты одного и того же элемента линейного пространства .Пусть, как и раньше, базис преобразуется в базис с помощью невырожденной матрицы (2.3.2.). Обратное преобразование задается матрицей (2.3.3.). Пусть, далее - произвольный элемент линейного пространства . В базисе элемент имеет координаты:

. (2.3.8)

В базисе тот же элемент имеет координаты:

. (2.3.9)

Получим формулы преобразования координат элемента (n-мерного вектора) при переходе от одного базиса к другому:

. (2.3.10)

Подставляя в последнее равенство вместо элементов их значения из (2.3.7), получим:

(2.3.11)

В силу единственности разложения по базису, из (2.3.11) получим:

(2.3.12)

Откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых векторах слева и справа, получим:

(2.3.13)

Из приведенных рассуждений можно сделать следующий вывод: если переход от первого базиса ко второму задается невырожденной матрицей A (2.3.2), то обратный переход задается обратной матрицей (2.3.3). Переход же от координат произвольного элемента в первом базисе, к координатам того же элемента во втором базисе задается матрицей:

, (2.3.14)

транспонированной к обратной матрице , т.е.:

. (2.3.15)

Глава III. Системы линейных уравнений.

§ 3.1. Условие совместности линейной системы.

1. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

(3.1.1)

При этом, через обозначаются неизвестные величины, подлежащие определе­нию (их число равно n). Число неизвестных n не обязательно равно числу m уравнений системы. Числа , называются коэффициентами линейной системы уравнений. Числа называются свободными членами линейной системы. Каждый коэффициент имеет два индекса, первый из которых i указывает номер уравнения, а второй – j указывает номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент .

Система линейных уравнений (3.1.1) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю:

. (3.1.2)

Система называется неоднородной, если хотя бы один из . Система (3.1.1) называется квадратной, если число ее уравнений m равно числу неизвестных n: .

Решением системы линейных уравнений (3.1.1) называется такая совокупность из n чисел , которая при подстановке в систему (3.1.1) вместо неизвестных , обращает все уравнения системы в тождества.

Система уравнений (3.1.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если у нее не существует ни одного решения. Совместная система уравнений может иметь как одно, так и несколько решений. Два решения системы уравнений (3.1.1): и называются различными, если нарушается хотя бы одно из следующих равенств:

. (3.1.3)

Совместная система линейных уравнений (3.1.1) называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Систему уравнений (3.1.1) удобно записывать в матричной форме. Рассмотрим следующие матрицы: матрицу A:

, (3.1.4)

которую будем называть основной матрицей системы (3.1.1) и матрицу-столбец X, состоящую из неизвестных:

. (3.1.5)

Тогда произведение этих матриц будет равно:

, (3.1.6)

где B – матрица-столбец свободных членов. Таким образом:

. (3.1.6’)

2. Нетривиальная совместность однородной системы линейных уравнений. Рассмотрим вначале однородную систему линейных уравнений.

. (3.1.7)

Отметим сразу, что система уравнений (3.1.7) всегда совместна, поскольку она всегда имеет так называемое тривиальное решение: . Возникает вопрос о том, при каких условиях система уравнений (3.1.7) является нетривиально совместной, т.е. имеет кроме нулевого и другие решения. Справедливо утверждение:

Теорема 3.1. Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг r матрицы A больше числа ее столбцов n.

Следствие. Однородная квадратная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы A (3.1.4), составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю.

3. Условие совместности общей линейной системы. Установим теперь необходимое и достаточное условие совместности общей линейной системы уравнений. Пусть дана произвольная система уравнений с неизвестными (3.1.1). С этой системой связывают две матрицы: матрицу (3.1.4), называемую основной матрицей системы (3.1.1) и матрицу :

, (3.1.8) называемую расширенной матрицей системы уравнений (3.1.1).

Справедливо следующее основное утверждение.

Теорема 4.2 (Кронекера – Капелли). Для того, чтобы система линейных уравнений (3.1.1) являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы (3.1.8) этой системы был равен рангу ее основной матрицы (3.1.4).

Доказательство. 1). Необходимость. Пусть система уравнений (3.1.1) совместна, т.е. существуют такие числа , что справедливы равенства:

. (3.1.9)

Обозначим через ранг основной матрицы системы уравнений (3.1.1). Рассмотрим базисных столбцов этой матрицы. В силу теоремы 1.6 (о базисном миноре) всякий столбец матрицы (3.1.4) является линейной комбинацией ее базисных столбцов. Но, в силу равенств (3.1.9) и последний столбец матрицы также линейно выражается через базисные столбцы матрицы , т.е. является их линейной комбинацией. Следовательно, ранг матрицы равен рангу матрицы . Необходимость доказана.

2). Достаточность. Пусть ранги основной и расширенной матриц системы уравнений (3.1.1) совпадают и равны . Тогда базисных столбцов матрицы являются также и базисными столбцами расширенной матрицы . По теореме о базисном миноре (1.6) последний столбец матрицы будет некоторой линейной комбинацией базисных столбцов основной матрицы. Тогда, в силу теоремы 1.5, последний столбец расширенной матрицы является линейной комбинацией и всех остальных столбцов матрицы . Поэтому существуют такие числа , что справедливы равенства (3.1.9). Но эти равенства означаю, что числа представляют собой решение системы уравнений (3.1.1), т.е. эта система является совместной. Теорема доказана.

Теорема Кронекера – Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности линейной системы уравнений, но не дает способа нахождения его решения.