Міністерство освіти і науки України.

Миколаївський навчально-науковий інститут

Одеського національного університету ім.. І.І. Мечнікова

Миколаївський державний університет ім.. В.О. Сухомлинського

Борчік Є.Ю., Муленко І.О., Тульський В.В.

Лекції з лінійної алгебри

(підручник для студентів фізико-математичних та

технічних спеціальностей вищих навчальних закладів)

Миколаїв – 2007

Глава I. Матрицы и определители.

§ 1. Матрицы.

1. Понятие матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая некоторое количество строк и столбцов. Числа и называются порядками матрицы. Если , то матрица называется квадратной порядка .

В дальнейшем для записи матриц будем пользоваться следующими обозначениями:

(1.1.1)

Число , стоящее на пересечении -ой строки и -го столбца матрицы , называется элементом матрицы. Элемент матрицы характеризуется двумя индексами, первый из которых нумерует строки, а второй - столбцы. В случае квадратной матрицы вводится понятие главной и побочной диагоналей матрицы:

. (1.1.2)

Главная диагональ идет из левого верхнего угла матрицы (1.1.2) в ее правый нижний угол, главную диагональ образуют элементы: . Побочная диагональ идет из правого верхнего угла матрицы (1.1.2) в ее левый нижний угол, побочную диагональ образуют элементы: .

Квадратная матрица , все элементы которой, лежащие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется верхней (нижней) треугольной матрицей:

, - верхняя и нижняя треугольные матрицы.

Квадратная матрица , все элементы которой, лежащие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной: . Диагональная матрица, все элементы которой равны 1, называется единичной матрицей порядка n:

. (1.1.3)

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Нулевая матрица может и не быть квадратной:

. (1.1.4)

2. Основные операции над матрицами и их свойства. Матрицы и называются равными, если они имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы равны между собой:

. (1.1.5)

1). Сложение матриц. Суммой двух матриц и , одних и тех же порядков называется матрица тех же порядков , элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц и , т.е.

: , (1.1.6)

или в развернутом виде:

. (1.1.7)

Складывать можно только матрицы одинаковых порядков.

2). Умножение матрицы на число. Произведением матрицы , на вещественное число называется матрица , тех же порядков, что и матрица , элементы которой равны:

: . (1.1.8)

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. (сочетательное свойство относительно числового множителя).

4. (распределительное свойство относительно суммы матриц).

5. (распределительное свойство относительно суммы чисел).

Замечание 1. Разностью двух матриц и одинаковых порядков называется матрица тех же порядков , которая в сумме с матрицей дает матрицу . Разность двух матриц обозначается символом: . Операция вычисления разности двух матриц сводится к последовательному применению операций умножения матрицы на число и сложения матриц: . Поэтому каждый элемент матрицы равен:

; . (1.1.9)

3). Перемножение матриц. Произведением двух матриц порядков и порядков называется такая матрица порядков , элементы которой равны:

. (1.1.10)

Из данного определения следует, что перемножать можно не произвольные матрицы, а только такие, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы . Такие матрицы называются согласованными для умножения. После перемножения получается матрица , число строк которой совпадает с числом строк матрицы , а число столбцов – совпадает с числом столбцов матрицы .

Таким образом, из указанного свойства следует, что даже если определено произведение матриц , произведение матриц , взятых в обратном порядке, может быть и неопределенным. Оба произведения и будут иметь смысл лишь для матриц вида , . При этом матрица будет квадратной матрицей порядка , а матрица - квадратной матрицей порядка . Для того, чтобы оба произведения и не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы матрицы и были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Правило составления элементов матрицы-произведения определяется формулой (1.1.10). Оно называется правилом умножения строки на столбец. Его можно сформулировать следующим образом: элемент , стоящий на пересечении -ой строки и -го столбца матрицы , равен сумме попарных произведений элементов -ой строки матрицы и элементов -го столбца матрицы .

Пример:

.

Произведение матриц подчиняется следующим свойствам:

6. - сочетательное свойство.

7. - распределительное свойство.

8. - распределительное свойство.

Вопрос о переместительном свойстве имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако, даже в этом случае ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен. Коммутативный закон произведения двух матриц в общем случае не имеет места, т.е. в общем случае . Пример:

, , , .

Для любых двух квадратных матриц и одинакового порядка можно ввести матрицу , называемую их коммутатором и равную:

. (1.1.11)

Если для двух матриц и выполняется равенство: , то эти матрицы называются коммутирующими. Коммутатор таких матриц, очевидно, равен нулю. Матрицу называют антикоммутатором матриц и . Укажем некоторые частные случаи, когда две квадратные матрицы являются коммутирующими. Пусть - диагональная матрица порядка , все диагональные элементы которой равны между собой: , а произвольная квадратная матрица порядка . Тогда справедливо равенство: . Пусть теперь - единичная матрица порядка , - произвольная квадратная матрица. Тогда справедливо соотношение:

. (1.1.12)

Если - нулевая квадратная матрица порядка , то справедливы равенства:

(1.1.13)

Матрицы и играют в матричной алгебре ту же роль, что и числа 1 и 0 в алгебре вещественных чисел соответственно.

Матрица называется противоположной матрице , если:

. (1.1.14)

Противоположную матрицу обозначают символом: . Матрица называется обратной по отношению к матрице , если справедливо равенство:

. (1.1.15)

Обратную матрицу обозначают символом: .

Матрица называется транспонированной по отношению к матрице , если для всех элементов этих матриц справедливы равенства:

. (1.1.16)

Транспонированная матрица обозначается символом: . Операция транспонирования матрицы осуществляется путем замены ее строк соответствующими столбцами, а столбцов – строками.

Матрица называется симметричной, если ее элементы, лежащие симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, т.е. если выполняется равенство:

. (1.1.17)

Если матрица симметрична, то транспонированная матрица совпадает с исходной:

. (1.1.18)

3. Блочные матрицы. Если некоторую матрицу разделить вертикальными и горизонтальными линиями, как это показано на примере:

, (1.1.19)

то каждый из отсеченных прямоугольных участков будем называть блоком . Матрицу тогда можно представить в виде:

. (1.1.20)

Матрицу вида (1.1.20), элементами которой являются не числа, а блоки чисел , называют блочной.

Арифметические операции над блочными матрицами вполне аналогичны соответствующим операциям над обычными матрицами:

1). Умножение блочной матрицы на вещественное число: ( - число блоков – строк, - число блоков-столбцов).

2). Сложение блочных матриц: .

3). Умножение блочных матриц: .

В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии прямой суммы двух квадратных матриц.

Определение 1. Прямой суммой двух квадратных матриц порядка и порядка называется квадратная блочная матрица порядка , равная:

. (1.1.21)

Прямая сумма обозначается символом : .

Совместное применение операций прямого суммирования, а также обычного сложения и перемножения матриц подчиняются следующим свойствам:

1). - сумма прямых сумм четырех матриц равна прямой сумме их сумм.

2). - произведение прямых сумм четырех матриц равна прямой сумме их произведений.