Работа № 3 Определение моментов инерции твердых тел Краткая теория

1. Угловая скорость и угловое ускорение. Любое твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, причем масса тела равна сумме масс этих точек: (1).

Каждая из этих материальных точек при вращении тела имеет траекторию движения в виде окружности, центр которой лежит на оси вращения. Очевидно, что линейная скорость каждой -той точки зависит от расстояния до оси вращения и поэтому она не может служить кинематической характеристикой вращательного движения твердого тела. Равномерное движение материальной точки по окружности можно характеризовать угловой скоростью: равна отношению угла поворота к промежутку времени , за который этот поворот произошел:

(2).

Для неравномерного вращательного движения вводится понятие мгновенной угловой скорости: (3).

Измеряется угловая скорость в радиан в секунду (рад/с) или с^-1.

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения тела таким образом, чтобы его направление совпадало с направлением поступательного движения правовинтового буравчика, ось которого расположена вдоль оси вращения тела , а головка вращается вместе с

телом (рис. 1). Из этого рисунка видно, что все три вектора , и взаимно перпендикулярны, поэтому зависимость между линейной и угловой скоростями можно записать в виде векторного произведения:

(4)

Для неравномерного вращения тела вводится понятие вектора углового ускорения . Вектор углового ускорения в каждый момент времени равен скорости изменения вектора угловой скорости: (5)

Единицей измерения углового ускорения является радиан на секунду в квадрате (рад/с²) или с^-2. На рис. 2 показаны два возможных направления вектора углового ускорения.

Если вращение тела вокруг неподвижной оси происходит ускоренно, то вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости (рис. 2а). В случае замедленного вращения вектора и направлены противоположно друг другу (рис. 2б).

2. Момент силы и момент инерции

Возьмем некоторое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси (рис. 3).

Для того чтобы привести тело во вращательное движение, пригодна не всякая внешняя сила. Эта сила должна обладать вращающим моментом относительно данной оси, а направление силы не должно быть параллельным данной оси или пересекаться с ней. Подействуем на тело силой . Вращение тела будет определяться моментом силы относительно оси вращения: (6)

где - радиус- вектор, проведенный из центра окружности вращения в точку приложения силы . Из векторного произведения (6) следует, что вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости. в которой лежат векторы и , т.е. в соответствии с правилом буравчика. Численное значение момента силы определяется выражением:

, (7)

где - угол между векторами и . Как видно из рис. 3, величина , равная расстоянию от оси вращения до направления действия силы, называется плечом силы относительно этой оси. Следовательно, момент силы численно равен произведению силы на плечо:

M = F·h (8).

Таким образом, физический смысл момента силы состоит в том, что при вращательном движении воздействие силы определяется не только величиной силы, но и тем, как она приложена.

В динамике вращательного движения вводится понятие момента инерции. Представим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси , как систему материальных точек (рис. 4).

Величина , численно равная произведению массы точки m_i на квадрат ее расстояния до оси вращения, называется моментом инерции точки относительно оси вращения. Момент инерции тела: сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело, т.е.: (9).

Физический смысл момента инерции J состоит в том, что при вращательном движении инерция тела определяется не только величиной массы, но и распределением этой массы относительно неподвижной оси вращения.