- •1.Основні поняття і символіка:
- •2.Заміна змінних.
- •Тема 1.2. Рівняння гіперболічного типу
- •1. Рівняння коливання струни.
- •2. Задача Коші для нескінченної струни.
- •3. Вільні коливання напівнескінченної струни.
- •4. Вільні коливання скінченої струни.
- •5. Вільні коливання прямокутної мембрани.
- •5.1 Крайова задача.
- •6.Рівняння Бесселя. Функції Бесселя.
- •2.Подача коефіцієнтів через г-функцію.
- •7. Коливання круглої мембрани.
- •8.Одномірне рівняння теплопровідності. Задача Коші.
- •Можна довести, що функція (а) задовольняє одномірне рівняння теплопровідності, через це називається фундаментальним розв’язком рівняння теплопровідності.
- •Точковий імпульс.
- •9.Теплопровідність у скінченому стержні.
- •9.1 Крайова задача
- •9.2 Двовимірне і тривимірне рівняння теплопровідності.
- •10. Еліптичні рівняння.
- •10.1 Задача Діріхле.
- •10.1.1 Задача Діріхле для круга.
- •10.1.2 Задача Діріхле для кулі.
- •10.1.3 Розв’язання задачі Діріхле.
- •11. Метод функції Гріна для задачі Діріхле
- •12. Функція Гріна.
- •13. Задача Діріхле для кулі (метод функції Гріна). Знайти гармонічну в кулі функцію, яка на поверхні кулі дорівнює
- •14.Задача Діріхле для напівпростору.
- •15. Задача Штурма-Ліувілля.
- •16. Одна спеціальна крайова задача.
Автори Босовський М.В., Демченко О.Г.
Предмет математичної фізики.
Математична фізика вивчає функціональні рівняння що описують найважливіші фізичні процеси і явища. Це диференціальні рівняння з частинними похідними, інтегральні рівняння та інтегродиференціальні рівняння.
1.Основні поняття і символіка:
, … або x,y,z,t... - незалежні змінні;
U,V,W, - функції незалежних змінних;
…, …, - частинні похідні.
О.1 Рівняння, що містить хоча б одну частинну похідну від шуканої функції, називається диференціальним рівнянням з частинними похідними.
Це рівняння можна записати так:
F ( … ; , … …)=f ( … ), (1)
якщо то рівняння називається однорідним.
О.2 Порядок старшої похідної, що входить в рівняння, називається порядком рівняння.
О.3 Якщо порядок рівняння дорівнює , і функція неперервна, то розв’язком рівняння(1) називається - раз неперервно-диференційовна функція, яка рівняння перетворює в тотожність.
Лінійні диференціальні рівняння II порядку.
О.4 Рівняння називається лінійним, якщо шукана функція і всі її похідні входять до рівняння в першому степені, а коефіцієнти рівняння є функціями незалежних змінних.
Лінійне диференціальне рівняння II-го порядку з двома змінними записується так:
+ + + + + = (2)
A, B, C, D, E, K, - функції від x, y.
+ + -головна частина рівняння, вона є лінійним диференціальним оператором II-го порядку. Позначається:
LU=AU +2BU +CU ;
+ + =
Матриця оператора:
- симетрична, тому = (транспонована матриця)
О.5 Диференціальне рівняння називається квазілінійним, якщо воно лінійне відносно найстарших похідних.
Приклади:
1. - нелінійне диференційне рівняння.
2. - квазілінійне диференціальне рівняння III-го порядку.
3. - лінійне однорідне диференціальне рівняння IV- го порядку від незалежних змінних.
4. - нелінійне однорідне диференціальне рівняння IV- го порядку від двох незалежних змінних.
2.Заміна змінних.
Постановка задачі: У рівності переходимо
від змінних x, y до за формулами
(3)
Вважаємо, що двічі неперервно-диференційовані. Встановити, як при цьому змінюється оператор LU.
Позначимо через і матрицю Якобі і транспоновану матрицю:
; .
Вважаємо, що перетворення координат (3) не вироджене, тобто .
Теорема.
При перетворенні координат за формулами (3) оператор LU перетвориться за правилом:
, (4)
де 1) має матрицю і структуру, аналогічну L,
з частинними похідними по та
,
,
, (5)
;
2) та результат застосування оператора до функцій та :
(6)
Доведення.
Доводимо теорему прямим способом: знаходимо за правилом диференціювання складної функції, підставляємо в рівняння, перегруповуємо доданки і показуємо, що ліва частина дорівнює правій.
1) ;
2)
3) Аналогічно дістаємо:
4)
5)
6)
тому
- симетрична:
а)
б)
7) Порівнюємо і (відповідно)
Висновок:
,
,
.
3.Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних II-го порядку від двох незалежних змінних.
О. Якщо В -АС <0 то рівняння (2) називається еліптичним,
якщо В -АС >0 то рівняння (2) називається гіперболічним,
якщо В -АС =0 то рівняння (2) називається параболічним.
Зауваження.
Класифікація рівняння подається для заданої точки. Якщо А, В, С постійні на всій площині, то рівняння не змінює тип на всій площині.
Приклад 5. Визначити тип рівняння.
1. - рівняння Лапласа.
А=1, В=0, С=1 , В -АС =0-1=-1<0 – еліптичне рівняння
Теорема.
При не виродженому перетворенні координат тип рівняння не змінюється.
Доведення (самостійно).
Якщо функція U залежить від n змінних то класифікація рівнянь II-го порядку проводиться за кількістю додатних, від’ємних і нульових власних чисел матриці.
- корені рівняння є власними числами оператора.
Оскільки матриця Т симетрична то власні числа дійсні.
Якщо серед власних чисел є - додатніх, - від’ємних і - нульових, то тип рівняння називається .
При такій класифікації тип рівняння не змінюється при не виродженій заміні змінних.
Доведення проводиться за схемою :
1. Існує лінійне перетворення таке що , D- діагональна матриця, матриця транспонована до .
2.Власні числа діагональної матриці є діагональними елементами.
3.При перетворенні координат .
4. .
Матриця Т зводиться до того ж самого діагонального виду за допомогою матриці , тому власні числа матриць Т і Т однакові, тип рівняння не зміниться.
4. Зведення до канонічного вигляду диференціальних рівнянь в частинних похідних ІІ-го порядку від двох незалежних змінних.
О. а)Еліптичне рівняння називається канонічним, якщо воно подається так
або
Ознака цього рівняння: змішаної похідної немає і А=С=1;
б)Гіперболічне рівняння називається канонічним, якщо воно подається в одній із двох форм: ,
в) Параболічне рівняння називається канонічним, якщо воно має такий вигляд:
( )
В означеннях а) – в) вираз Ф не містить похідних другого порядку.
Теорема.
Існує невироджене перетворення координат, яке кожне рівняння II-го порядку зводить до канонічного виду.
Доведення.
1) Для доведення твердження вводимо поняття характеристики рівняння.
. (4)
Вираз в дужках не містить похідних другого порядку.
О. Лінія називається характеристикою рівняння (1), якщо функція задовольняє таке диференціальне рівняння I-го порядку
або (5)
Рівняння (5) зводиться до звичайного диференціального рівняння I-го порядку. Дійсно, якщо , , то:
; ; ; ;
На підставі зазначеного і (5) маємо
(6)
Рівняння (6) називається рівнянням характеристик для (4)
Розв’язки цього рівняння:
(7)
2) Якщо рівняння гіперболічне, то рівняння (7) розпадається на два дійсні. Припустимо, що загальні інтеграли цих рівнянь, тоді ці функції приймаємо за нові змінні. В цих змінних рівняння (4) зводиться до канонічного виду бо при такій заміні змінних у рівнянні
коефіцієнти . Дійсно ; оскільки та задовольняють (5), то
Перетворене рівняння ділимо на 2 , і дістаємо канонічне гіперболічне рівняння
3) Якщо рівняння параболічне, то рівняння (7) вироджується в одне
.
Нехай - загальний інтеграл цього рівняння. Покладемо Другу змінну вибираємо довільно, але так щоб якобіан не дорівнював нулю. У нових змінних та параболічне рівняння буде канонічним.
4) Якщо рівняння еліптичне, то рівняння (7) розпадається на два з комплексно-спряженими правими частинами. В цьому випадку інтегруємо одне з них загальний інтеграл диференціального рівняння. За нові змінні приймаємо . Після такої заміни дістаємо канонічне еліптичне рівняння
Дійсно, оскільки початкове рівняння (5) з дійсними коефіцієнтами, то разом з розв’язками будуть: , , беремо перше рівняння. Тоді . Знайдемо коефіцієнти
Якщо підставити у рівняння характеристик, то дістанемо . , бо рівняння буде І-го порядку. Рівняння набуває вигляду
, або .
Зауваження.
Якщо початкове рівняння містить тільки сталі коефіцієнти, то можна звести його до такого вигляду, щоб не було і перших похідних шуканої функції. Для цього вводимо підстановку невідомі числа, підбираємо їх так, щоб перетворене рівняння не містило похідних І-го порядку: Коефіцієнти біля частинних похідних І-го порядку будуть залежати від ; прирівнюємо їх до нуля і знаходимо відповідні значення і .
Згідно означення канонічний вигляд рівняння буде таким:
або
Приклад 6. Звести до канонічного вигляду:
Рівняння лінійне однорідне диференціальне рівняння в частинних похідних другого порядку з двома змінними.
- гіперболічне.
Характеристичне рівняння
Знаходимо дві сім’ї характеристик
Характеристиками є праві і ліві вітки сім’ї парабол
Вершини парабол, які належать осі , не належать характеристикам ;
Заміна
.
Приклад 7. Звести до канонічного вигляду:
- параболічне.
Заміна
Приклад 8. Звести до канонічного вигляду (приклад 1) якщо . Еліптичне рівняння.
.
Приклад 9. Звести до канонічного вигляду:
– параболічне;
, ;
;
.
~