Глава 3. Теория логического вывода

Выделяют следующие методы логики вывода:

1) традиционная логика;

2) булева алгебра (алгебра логики);

3) исчисление предикатов.

3.1. Традиционная логика

Традиционная логика возникла еще во времена Аристотеля и была предназначена для уменьшения количества логических ошибок в различного рода диспутах и спорах. Отправной точкой этой логики служат следующие понятия.

Суждение – законченная мысль, которую можно выразить с помощью естественном языке.

Высказывание – любое суждение, которому можно присвоить значения истинно (true) или ложно(false).

Силлогизм – совокупность правил, выводов, умозаключений (от общего к частному) на основе множества суждений, каждое из которых должно быть записано в допустимой форме.

Приведем пример.

Все студенты института знают английский язык.

Студенты группы И-5 учатся в институте.

Значит, студенты группы И-5 знают английский язык.

Все характеризует соотношение множества и подмножества и является одним из кванторов.

Квантор – логическая операция, которая по соответствующим отношениям строит высказывания, характеризующие подмножества истинности.

Выделяют 2 вида кванторов: квантор общности (все или математическое обозначение ) и квантор существования (существует, ). Возможны и кванторы-отрицания (никакой, не существует).

Для высказываний в традиционной логике существуют законы:

1) тождество (А=А);

2) противоречия ;

3) закон исключенного третьего (А=А или (истина или ложь)

При использовании кванторов допускаются четыре формы суждений для классов S и P:

1) S является P;

2) (отрицание )S не является P;

3)  элементы в S, являющиеся P;

4) (отрицание ) элементы в S, являющиеся P.

Силлогизм – логика классов и часто включает две посылки и вывод.

Например,

ВСЕ СТУДЕНТЫ ИНСТИТУТА ЗНАЮТ АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК

СТУДЕНТЫ КАФЕДРЫ ЯВЛЯЮТСЯ СТУДЕНТАМИ ИНСТИТУТА

Значит,

ВСЕ СТУДЕНТЫ КАФЕДРЫ ЗНАЮТ АНГЛИЙСКИЙ ЯЗЫК

Для высказываний, как понятий более высокого уровня абстракции, сформировалась алгебра из следующих правил:

1) если из S следует P и S – истина, то P – истина;

2) если из S следует P, S – ложь, то P – ложь;

3) если S и P не являются одновременно истиной и S истина, то P ложно;

4) если S и P не являются одновременно истиной, и S не истина, то P истина.

В XIX веке выяснилось, что традиционная логика не обладает однозначностью, что объясняется следующими положениями.

1. Нет формального понятия «дополнение».

2. Нет перехода от положительного к отрицательному значению класса и наоборот.

3. При логических выводах о существовании элемента какого-либо класса возникают существенные сложности.

4. Не «работает» схема ЕСЛИ …, ТО …

В силу этих причин возникают курьезные выводы типа

ТО, ЧТО ВЫ НЕ ПОТЕРЯЛИ, ВЫ ИМЕЕТЕ

ВЫ НЕ ПОТЕРЯЛИ РОГА

Значит, …

Таким образом, традиционная логика не удовлетворяет ранее сформулированным требованиям к логическому описанию и не может быть использована в МЛВ.

3.2. Алгебра логики

Алгебра логики (булева алгебра) оперирует с высказываниями. Чаще всего используют одно y = f(x) и двуместные z = f(x,y) высказывания. Одноместным высказыванием является логическая операция НЕ. Возможны 16 вариантов двуместных высказываний, из которых наиболее известны операции И () и ИЛИ ().

В последнее время и, в частности, в предикатах первого порядка, часто используется операция, получившая название импликация (табл. 3.1).

Таблица 3.1