10.3 Типовые графы состояния функционирования системы

Рассмотрим возможные виды графов на примере автоматической системы экологического мониторинга, состоящую из трёх элементов (модулей, подсистем): поста контроля ПК параметров окружающей среды; канала связи КС, центральной ЭВМ. Схема системы АСКОС представлена на рис. 27.

Рисунок 27 – Структура АСКОС

Восстанавливаемая, нерезервированная система. Отказ одного из элементов приводит к отказу всей системы экологического мониторинга. Изобразим функционирование данной системы с помощью теории графов (рис. 28):

– состояние безотказной работы АСКОС.

– состояние поста контроля после отказа;

– состояние канала связи после отказа;

– состояние центральной ЭВМ после отказа;

Система из состояния переходит в состояние с некоторым параметром (интенсивность отказов), а из в параметром и в другие состояния.

Рисунок 28 – Размеченный граф состояния системы

– интенсивность отказов;

– интенсивность восстановления.

Граф гибели невосстанавливаемой системы показан на рисунке 29.

Рисунок 29 – Схема графа гибели

Системы из работоспособного состояния переходит в неработоспособное состояние при последовательном отказе элементов (рис. 30).

Граф гибели и размножения системы

Рисунок 30 – Схема графа гибели и размножения

– состояние полного отказа, отказал основной и все резервные элементы;

– безотказное состояние;

– отказал основной элемент, а 1-ый резервный работает;

– отказал основной и 1-ый резервный, а работает 2-ой элемент.

Графы гибели описывают состояния резервированных, невосстанавливаемых систем.

Графы гибели и размножения описывают состояния резервированных восстанавливаемых систем.

Циклический граф

Рисунок 31 – Схема циклического графа

Через n шагов система переходит из одного состояния в другое. Она может прийти в начальное состояние , или в состояние функционирования после ремонта и т.д.

Выводы:

1. Пошаговый процесс

2. Состояние системы дискретно.

3. Время перехода системы из одного состояния в другое распределено экспоненциально.

Приведённые графы, при допущении, что поток событий — Пуассоновский, и время безотказной работы, а также время восстановления описаны экспоненциальным законом — это Марковские процессы.

Лекция 11

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ГРАФОВ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ

Для примера принимаем граф (рис.32) восстанавливаемой нерезервируемой системы экологического мониторинга СЭМ. В этом случае оцениваются стандартные показатели надёжности: вероятность безотказной работы , коэффициент готовности , либо коэффициент оперативной готовности.

Рисунок 32 – Графическое представление

Вероятность нахождения системы в данном состоянии описывается Марковской моделью по схеме:

; ;

; .

Вероятность изменения этого состояния за малый промежуток времени описывается дифференциальным уравнением вида:

,

где – выражения состояний.

Вероятность состояния элементов описывается системой аналогичных дифференциальных уравнений:

Для решения этой системы необходимо знать значения интенсивностей отказов и восстановлений , которые определяются опытным путём.

Если же система функционирует продолжительное время ( ), тогда она принимает вид:

.

Это система дифференциальных уравнений Колмогорова для графа состояний последовательных элементов. Она трансформируется в систему простых алгебраических уравнений:

Решение этой системы достигается путём нормирования . Тогда можно записать:

Решив систему алгебраических уравнений, определяем , которое является коэффициентом готовности :

— это есть уравнение надёжности восстанавливаемых нерезервированных систем в стационарном режиме.

Восстановление — есть рациональный путь, как и резервирование, повышения надёжности ( ) системы, .

Определив , можно найти коэффициент простоя . Уменьшая время простоя, увеличиваем .

Для невосстанавливаемых резервируемых систем имеются нижеследующие расчётные выражения ПН.

1. Для ненагруженной системы, вероятность безотказной работы резервированной системы

, при ,

где — среднее время безотказной работы резервированной системы;

– интенсивность отказов нерезервированной системы;

– кратность резервирования;

– число резервных элментов.

2. Для нагруженного резервирования:

при ;

.

3. Для системы с облегченным резервом:

при ,

где – коэффициент, который показывает насколько резервный элемент разгружен по отношению к основному,

.

Лекция 12

НАДЁЖНОСТЬ СИСТЕМЫ БЕЗОПАСНОСТИ