Раздел 3. Прогнозирование на основе линейной трендовой модели

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития процесса. В некоторых случаях общая тенденция развития процесса явно отражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются). Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда то возрастают, то убывают и их общая тенденция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние различные факторы. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер. Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изучаемого этапа развития. Задача состоит в том, чтобы выявить эту основную тенденцию. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке.

Существует несколько методов обработки рядов динамики, помогающих выявить основную тенденцию изменения уровней ряда, а именно: метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней и аналитическое выравнивание. Во всех методах вместо фактических уровней при обработке ряда рассчитываются иные (расчетные) уровни, в которых тем или иным способом взаимопогашается действие случайных факторов и тем самым уменьшается колеблемость уровней. Последние в результате становятся как бы «выравненными», «сглаженными» по отношению к исходным фактическим данным.

3.1. Аналитическое выравнивание

Более совершенный метод обработки рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда – выравнивание уровней ряда по аналитическим формулам. Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических) уровней теоретическими , которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические уровни рассматриваются как функция времени: .

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:

1. определение на основе фактических данных вида (формы) гипотетической функции , способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

2. нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);

3. расчет по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.

Аналитическое выравнивание по линейной функции. Уравнение прямой линии выражено формулой:

,

где - значения выравненного ряда, которые нужно вычислить (теоретические уровни);

а – свободный параметр уравнения;

в – коэффициент регрессии, показывающий изменение показателя в зависимости от временного фактора;

t – условные показатели времени (дни, месяцы, годы и т.д.).

Для нахождения параметров а и в необходимо решить систему нормальных уравнений:

где у – фактические уровни ряда динамики;

п – число уровней или длина ряда.

Для упрощения расчетов время обозначают так, чтобы начало отсчета времени приходилось на середину рассматриваемого периода; тогда .

Система нормальных уравнений примет вид

Отсюда ; .

Рассмотрим применение метода на следующих данных о производстве продукции одним из предприятий:

Год	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Объем продукции, тыс. ед.	10	10,7	12	10,3	12,9	16,3	15,6	17,8	18

Примем за точку отсчета 2005 г. Тогда условные годы:

Год	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
t	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

Для определения параметров уравнения а и в составим расчетную таблицу 3.1.

Таблица 3.1