4. Ассоциативность

Мы привычно пишем сумму или произведение трех (и более) чисел x+y+z или xyz, однако, с позиций общей алгебры, эти операции являются бинарными, т.е. они определены для двух операндов и корректность подобных "многочленных" сумм или произведений нуждается в обосновании. Обоснование заключается в том, что обе эти операции (а также многие другие) обладают следующим важным свойством.

Операция  называется ассоциативной, если для любых x,y,zM выполняется равенство (xy)z=x(yz). Только в этом случае мы можем писать без скобок просто xyz и рассматривать не только трехчленные, но и многочленные комбинации типа x₁x₂x_n.

Откуда известно, что сложение и умножение чисел ассоциативны? Ответим на вопрос вопросом: а откуда известно, что они коммутативны? На интуитивном уровне эти (и многие другие) факты о числах воспринимаются, как "впитанные с молоком матери", а на теоретическом – доказываются в математической дисциплине, называемой "Теоретическая арифметика" и далеко выходящей за рамки обычного втузовского (и даже университетского) курса математики.

Операции НОД и НОК в арифметике натуральных чисел ассоциативны, это очевидно "по смыслу".

Обе операции арифметики вычетов ассоциативны, поскольку они являются "производными" от арифметических операций сложения и умножения. Это, разумеется, не есть строгое доказательство, но поверить можно 

Сложение векторов ассоциативно, в курсе векторной алгебры это доказывается довольно легко.

Сложение матриц ассоциативно, это сразу следует из ассоциативности сложения чисел.

Векторное умножение неассоциативно. Этот интересный факт легко доказать, приведя контрпример. Рассмотрим векторные произведения ортов декартовых осей i, j, k. Возьмем, например, (ij)j=kj= –i. Расставим скобки по-другому и получим i(jj)=i0=0.

Ассоциативность умножения матриц неочевидна, но доказывается в теории матриц исходя из определения этой операции.

В алгебре многочленов сложение и умножение ассоциативны – эти операции сводятся к сложению и умножению численных значений многочленов. Композиция также ассоциативна, поскольку для любых заданных функций f,g,h обе композиции (f_g)_h и f_(g_h) задаются одним и тем же выражением f(g(h(x))).

В алгебре логики ассоциативны конъюнкция, дизъюнкция и XOR, импликация неассоциативна. Доказать все эти утверждения можно путем перебора всех возможных значений переменных x,y,z{0,1} (всего 2³=8 вариантов), используя таблицы значений этих операций.

Для формальной операции  на множестве M={a,b,c}, заданной таблицей 1.4, подобный способ доказательства ассоциативности потребовал бы перебора 3³=27 вариантов, что слишком трудоемко. Мы вернемся к этой операции несколько позже.

В алгебре множеств операции объединения, пересечения и симметрической разности являются ассоциативными. Для объединения и пересечения это очевидно "по смыслу", а для симметрической разности легко может быть дока­зано, исходя из ее выражения через объединение, пересечение и разность (предлагаем это в качестве несложного упражнения).

Снова рассмотрим операцию: xy=x+y–1. Вопрос: является ли эта операция ассоциативной? Проверим равенство (xy)z=x(yz) для любых чисел x,y,z. В левой части имеем (xy) z=(x+y–1)+z–1=x+y+z–2, в правой части x(yz)=x+(y+z–1)–1=x+y+z–2. Видим, что операция ассоциативна.

Рассмотрим еще один пример. Вспомним алгебраическую систему, связанную с векторной алгеброй, в которой заданы два множества: множество геометрических векторов 3-мерного пространства V и множество вещественных чисел R с обычными операциями. "Свалим в одну кучу" векторы и числа, т.е. построим объединение RV и зададим на этом множестве операцию, которую будем называть просто умножением и обозначать обычной точкой . Результат операции будем вычислять так. Если оба операнда суть числа, их надо просто перемножить, получится число. Если один операнд – число, а другой – вектор, их надо перемножить по правилам векторной алгебры, получится вектор. Если оба операнда суть векторы, надо взять их скалярное произведение, получится число. Сразу видно, что эта операция коммутативная. Выясним, является ли такое "скалярно-числовое" умножение ассоциативным, т.е. верно ли, что (xy)z=x(yz), где сомножители могут быть как числами, так и векторами.

Если все три сомножителя суть числа, слева и справа получается число, равное произведению трех чисел xyz, равенство верно.

Пусть два сомножителя – числа, а третий – вектор, например, x и y числа, z – вектор, слева и справа получается вектор, коллинеарный z, получающийся его умножением на число xy, равенство верно.

Пусть два сомножителя, например, x и y векторы, z – число. Слева имеем скалярное произведение векторов xy, умноженное потом на число z, т.е. некоторое число. Справа вектор x скалярно умножается на вектор yz, коллинеарный y – результатом является то же самое число.

Пусть, наконец, все три сомножителя суть векторы, слева получается вектор, коллинеарный z, а справа вектор, коллинеарный x. В общем случае, если x и z не коллинеарны, равенство неверно, наше "скалярно-числовое" умножение неассоциативно.

5. Группа

Важнейшим типом алгебраических систем являются группы. Это понятие определяется свойствами основной операции.

Непустое множество M с заданной на нем бинарной операцией  называется группой G (символически записывают G=(M, )), если эта операция

• ассоциативна, т.е. выполняется равенство (xy)z=x(yz) для любых x,y,zM;

• в множестве M имеется нейтральный элемент e такой, что для любого xM выполняются равенства xe=x и ex =x;

• для всякого xM существует симметричный элемент M такой, что x =e и  x =e.

Замечание. Переход от произвольного элемента x к симметричному элементу можно рассматривать как унарную операцию, порожденную основной групповой операцией .

Если групповая операция  коммутативна, группа G=(M, ) называется коммутативной (используется также исторический термин абелева группа).

Приведем одну теорему общего характера, относящуюся к любым группам. Рассмотрим два уравнения

ax=b и ya=b, (*)

где a и b заданные (известные) элементы группы, а x и y – неизвестные.

Теорема утверждает, что оба уравнения (*) однозначно разрешимы.

Возьмем первое уравнение и умножим обе его части (в смысле операции ) на , т.е. на элемент, симметричный a. Слева получим (ax), справа b. В левой части переставим скобки, получим ( a)x. Произведение a=e, так что слева получается ex=x. Окончательно имеем решение уравнения x= b.

Второе уравнение (*) решается аналогично.

Имеет место и обратная теорема: если в алгебраической системе (M, ) операция  ассоциативна и уравнения (*) однозначно разрешимы, то эта система является группой.

Следствие. Если групповая операция задана таблицей Кэли, то в каждой строке этой таблицы и в каждом ее столбце присутствуют ровно по одному разу все элементы базового множества. В таблице 1.4 это свойство выполняется.

Из примеров, приводимых в предыдущем разделе, следующие алгебраические системы являются группами.

1. (Z, +) – так называемая аддитивная группа целых чисел. Термин "аддитивная" здесь и дальше говорит не о каких-то свойствах этой группы, а лишь о способе обозначения групповой операции (additio по-латыни означает прибавление, сложение). Также можно говорить об аддитивной группе рациональных чисел (Q, +), аддитивной группе вещественных чисел (R, +) и аддитивной группе комплексных чисел (C, +). Во всех аддитивных группах нейтральный элемент – число 0, для произвольного числа x симметричным элементом является число –x. Заметим, что все эти группы коммутативны. Вообще обозначение операции "крестиком" (+) и термин "аддитивная" обычно относят только к коммутативным группам, для некоммутативных используют другие символы (см. далее). Впрочем, это всего лишь общепринятое соглашение.

2. (Q_, ) – так называемая мультипликативная группа рациональных чисел, отличных от нуля. Здесь Q_={ , где mZ, m0, nN}. Термин "мультипликативная" здесь и дальше говорит не о каких-то свойствах этой группы, а лишь о способе обозначения групповой операции (multiplicatio по-латыни означает умножение). Также можно говорить о мультипликативной группе вещественных чисел, отличных от нуля (R_, ) и мультипликативной группе комплексных чисел, отличных от нуля (C_, ). Во всех мультипликативных группах нейтральный элемент – число 1, для произвольного числа x симметричным элементом является число x^–1. Число 0 пришлось исключить из базовых множеств этих групп по понятным причинам: не существует 0^–1.

3. (Q₊, ) – мультипликативная группа положительных рациональных чисел. Здесь Q₊={ , где m,nN}. Также можно говорить о мультипликативной группе положительных вещественных чисел (R₊, ). В этих мультипликативных группах нейтральный элемент также число 1, для произвольного числа x симметричным элементом является число x^–1.

4. (R^mn, +) – аддитивная группа матриц из m строк и n столбцов с вещественными элементами. Нейтральный элемент – матрица, заполненная нулями, для произвольной матрицы X симметричный элемент группы есть –X (все элементы матрицы заменены на противоположные по знаку).

5. (M_n, ) – мультипликативная группа квадратных невырожденных матриц некоторого заданного порядка n. Нейтральный элемент – единичная матрица E, для произвольной невырожденной матрицы X можно найти симметричный элемент группы – обратную матрицу X ^–1.

6. (U_n, ) – мультипликативная группа квадратных матриц некоторого заданного порядка n, определители которых равны 1 (такие матрицы называются унимодулярными). Нейтральный элемент – единичная матрица E. Множество U_n замкнуто относительно умножения матриц и относительно взятия обратной матрицы – если для какой-то матрицы X имеем detX=1, то и для обратной матрицы detX^–1=1.

7. (Z[x], +), (Q[x], +), R[x], +), (C[x], +) – аддитивные группы многочленов. Нейтральный элемент – нулевой многочлен, для произвольного многочлена f(x) симметричный элемент группы – многочлен –f(x).

8. (L[x], _) – группа линейных невырожденных функций вида f(x)=ax+b при a0 относительно композиции. Коэффициенты a и b могут принадлежать любому из множеств Q, R, C.

9. (V, +) – аддитивная группа векторов. Нейтральный элемент – нуль-вектор 0, для произвольного вектора x симметричный элемент группы – противоположный вектор –x.

10. (Z_n, +_n) – аддитивная группа вычетов по модулю n. Нейтральный элемент – 0, для произвольного вычета x симметричный вычет есть n–x.

11. Попробуем построить мультипликативную группу вычетов. Вычет 0 необходимо исключить – произведение x _n 0 равно 0 при любом x, так что уравнение x _n 0 = 1 неразрешимо. Поэтому примем за базовое множество ненулевых вычетов (Z_n)_*={1,,n–1}. Рассмотрим пример. Пусть n=6, (Z₆)_*={1,2,3,4,5}. Найдем произведение 2 ₆ 3 = 0 – видим, что (Z₆)_*

    Таблица 2.1

    Таблица умножения по модулю 5

    5	1	2	3	4
    1	1	2	3	4
    2	2	4	1	3
    3	3	1	4	2
    4	4	3	2	1

    незамкнуто относительно операции ₆. Причина неудачи очевидна – обычное произведение 2  3 равно 6, т.е. основанию нашей модулярной арифметики n=6. Чтобы это­го не происходило ни при каких сомножителях-вычетах, число n должно быть простым, т.е. не раскладываться на множители ("разложение" n=n1, разумеется, не в счет). Условие простоты модуля необходимо для получения мультипликативной группы ((Z_p)_*, _p). На самом деле это условие также и достаточно, но доказывать достаточность мы не станем, ограничившись примером. Рассмотрим таблицу умножения вычетов по простому модулю p=5 (это выборка из таблицы 1.3). В соответствии с этой таблицей для вычета 2 симметричным элементом группы является вычет 3, именно их произведение равно нейтральному элементу 1. Пренебрегая разни­цей между обычным умножением и умножением по модулю 5, запишем 2^–1=3. Аналогично 3^–1=2, 4^–1=4.

12. (Z, ) – группа с нестандартной операцией , задаваемой равенством xy=x+y–1. Выше была доказана ассоциативность этой операции, существование нейтрального элемента e=1 и существование элемента, симметричного для произвольного x, это =2–x. С той же операцией можно построить группы (Q, ), (R, ), (C, ). Очевидно, что все эти группы коммутативны.

13. Предлагается самостоятельно рассмотреть аналогичный пример: на множестве Q (или R, или C) введем операцию xy=x+y–xy. Являются ли алгебраические системы (Q, ), (R, ), (C, ) группами? Возможно, базовые множества придется для этого как-то ограничить.

Важное понятие теории групп – подгруппа. Пусть G=(M, ) – некоторая группа. Тогда группа G'=(M', ), где множество M'M, называется подгруппой группы G, символически G'G. Нейтральный элемент в группе и в подгруппе – один и тот же, способ построения симметричного элемента также одинаковый. У каждой группы есть, по меньшей мере, две подгруппы: она сама и единичная подгруппа, базовое множество которой состоит из одного элемента e. Эти подгруппы называются несобственными, остальные (если они имеются) – собственными.

Примеры. Аддитивная группа целых чисел (Z, +) является подгруппой аддитивной группы рациональных чисел (Q, +), которая сама является подгруппой аддитивной группы вещественных чисел (R, +), а та – подгруппой аддитивной группы комплексных чисел (C, +). Нейтральный элемент во всех этих группах – число 0, симметричный элемент для любого числа x – противоположное по знаку число –x.

Символически отношения между этими группами можно записать так: (Z, +)(Q, +)(R, +)(C, +), Здесь все включения – строгие, все подгруппы – собственные.

Другой пример: мультипликативная группа положительных рациональных чисел (Q₊, ) является собственной подгруппой мультипликативной группы (Q_, ) рациональных чисел, отличных от нуля, так что (Q₊, )(Q_, ).

Мультипликативная группа унимодулярных матриц (U_n, ) является собственной подгруппой мультипликативной группы невырожденных матриц (M_n,).

Аддитивная группа четных чисел (2Z, +) является собственной подгруппой аддитивной группы целых чисел (Z, +).

Очень важно, что операция  в группе и в подгруппе одна и та же. Т.е. если для некоторой группы G=(M, ) взять какое-то подмножество M'M, какую-то новую операцию  и построить (если удастся) группу G'=(M', ), то эта группа не будет подгруппой в группе G, хотя M'M.

Так, если взять аддитивную группу квадратных матриц некоторого порядка n с операцией +, а потом взять подмножество невырожденных матриц порядка n и построить на нем мультипликативную группу с операцией , эта группа не будет подгруппой исходной аддитивной группы.

Какие свойства подмножества M' надо проверять, чтобы выяснить, является ли алгебраическая система (M', ) подгруппой группы (M, )?

Самое главное – подмножество должно быть замкнуто относительно операции . Кроме того, подмножеству должен принадлежать нейтральный элемент группы, наконец, если некоторый элемент xM', то и симметричный элемент также должен принадлежать M'.

А вот ассоциативность операции  на подмножестве проверять не надо, поскольку уже известно, что (M, ) – группа и ассоциативность имеет место для всех элементов множества M, а стало быть, и для всех элементов подмножества M'.

Пример 1. В множестве целых чисел Z рассмотрим два подмножества – четных чисел 2Z и нечетных чисел 2Z+1. Подмножество 2Z замкнуто относительно сложения, нейтральный элемент группы (Z, +) – число 0 – является четным, если x2Z, то и симметричный элемент группы, т.е. противоположное по знаку число –x2Z. Таким образом, мы установили, что (2Z, +) – группа. А подмножество 2Z+1 незамкнуто относительно сложения, поэтому (2Z+1, +) не является группой.

Пример 2. В множестве целых чисел Z возьмем подмножество натуральных чисел N. Это подмножество замкнуто относительно сложения, однако система (N, +) не является подгруппой в группе (Z, +), так как нейтральный элемент группы 0 не является натуральным числом.

Расширим множество натуральных чисел до множества целых неотрицательных Z₀={0,1,2,}. Это множество также замкнуто относительно сложения и теперь с нейтральным элементом все в порядке: 0Z₀, Однако система (Z₀, +) также не является подгруппой в группе (Z, +), так как для произвольного xZ₀ сопряженный элемент группы –xZ₀.

Алгебраические системы (N, +) и (Z₀, +) являются примерами так называемых полугрупп. Бинарная операция в полугруппе должна быть ассоциативной, базовое множество должно быть замкнуто относительно нее, больше никаких требований не предъявляется. Данные полугруппы коммутативны, полугруппа (Z₀, +) имеет нейтральный элемент, но эти свойства не являются обязательными для полугрупп вообще. Попробуйте самостоятельно доказать, что множество квадратных матриц некоторого порядка n с натуральными элементами является полугруппой, причем некоммутативной и без нейтрального элемента.

Пример 3. В базовом множестве группы (M_n, ) квадратных невырожденных матриц некоторого заданного порядка n выделим подмножество T_n верхних треугольных матриц, также невырожденных. (Напомним, что у верхних треугольных матриц все элементы, лежащие ниже главной диагонали равны 0.) Это множество замкнуто относительно умножения матриц (проверьте это на примерах), нейтральный элемент группы, т.е. единичную матрицу можно считать треугольной, наконец, если матрица AT_n, то и симметричный элемент группы, т.е. обратная матрица A^–1T_n. Покажем это на примере матриц 2-го порядка. Пусть верхняя треугольная матрица , где p0 и r0. Тогда – также верхняя треугольная. Таким образом, мы доказали, что (T_n, ) является подгруппой в группе (M_n, ).

Еще одно важное теоретическое понятие – изоморфизм групп. Пусть G₁=(M₁, ) и G₂=(M₂, ) две группы на разных множествах и с разными (вообще говоря) операциями. Группы G₁ и G₂ изоморфны, если

• существует взаимно однозначное отображение :M₁M₂,

• для любых x,yM₁ имеем (x  y)= (x)  ( y).

Символически изоморфизм групп записывается так: G₁ G₂.

Рассмотрим пример. Пусть G₁=(R₊, ) – мультипликативная группа положительных вещественных чисел, G₂=(R, +) – аддитивная группа вещественных чисел. Определим отображение : R₊R с помощью логарифмической функции по любому основанию, можно взять, скажем, натуральные логарифмы, т.е. положить (x)=ln x. Это отображение взаимно однозначное, обратное отображение задается формулой e^x. Из школьной алгебры известно, что ln (xy)= ln (x)+ln (y). Таким образом, эти две группы изоморфны, т.е. (R₊, )  (R, +).

Еще один пример изоморфизма: (Z, +)  (2Z, +). Отображение : Z2Z задается простой формулой (x)=2x. Как видим, группа может быть изоморфна своей собственной подгруппе.

Изоморфизм – сильный инструмент для изучения групп. Вспомним формальную операцию  на множестве M={a, b, c}, заданную таблицей 1.4. Кое-какие свойства этой операции (коммутативность, наличие нейтрального элемента – это элемент a, наличие симметричных элементов) мы установили "методом глядения" (на таблицу). Однако свойство ассоциативности оказалось слишком трудоемким для "переборного" доказательства.

Сейчас мы докажем ассоциативность этой операции косвенным способом. Для этого установим изоморфизм алгебраической системы (M, ) с аддитивной группой вычетов по модулю 3, т.е. с (Z₃, +₃) , где Z₃ ={0,1,2}. Для этого введем отображение : MZ₃, положив (a)=0, (b)=1, (c)=2. Проверим, например, что (bc)= (b) +₃ (c). Слева имеем, в соответствии с таблицей 1.4, bc=a и (a)=0. Справа 1 +₃ 2 =0. Так можно просмотреть всю таблицу 1.4. и убедиться, что эти системы в самом деле изоморфны. Вывод: алгебраическая система (M, ) является группой, поэтому операция  ассоциативна.

6. Кольцо

Кольцо – алгебраическая система с одним базовым множеством M и двумя бинарными операциями, которые называются и обозначаются сложением (+) и умножением (). Символически K=(M, +, ). Для операций должны выполняться следующие свойства.

• Относительно сложения подсистема (M, +) является коммутативной груп­пой, она называется аддитивной группой кольца. Нейтральный элемент этой группы обозначается 0, элемент, симметричный x, обозначается –x.

• К умножению предъявляются минимальные требования: оно не обязательно коммутативно и ассоциативно, не обязательно имеется нейтральный элемент и симметричные элементы. Если умножение все же коммутативно, кольцо также называется коммутативным, если умножение ассоциативно, кольцо называется ассоциативным.

• Сложение и умножение связаны законами дистрибутивности (правилами раскрытия скобок): x(y+z)=(xy)+(xz) и (y+z)x=(yx)+(zx) (в коммутативном кольце оба правила сливаются в одно, но в общем случае их надо проверять независимо друг от друга).

В любом кольце можно ввести также операцию вычитание (–), положив по определению x–y=x+(–y).

Рассмотрим примеры колец.

1. (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – числовые кольца с обычными операциями сложения и умножения. Числовые кольца коммутативны и ассоциативны.

2. (M_n, +, ) – кольцо квадратных матриц некоторого порядка n (не только невырожденных) с обычными матричными операциями. Матричное кольцо ассоциативно, но не коммутативно. Законы дистрибутивности доказываются в теории матриц.

3. (T_n, +, ) – кольцо треугольных матриц некоторого порядка n (не только невырожденных) с обычными матричными операциями. Это кольцо также ассоциативно и не коммутативно. Самостоятельно докажите замк­нутость множества T_n относительно операций сложения (это совсем просто) и умножения (это немного сложнее).

4. (Z_n, +_n, _n) – кольцо вычетов по модулю n. Кольцо вычетов коммутативно и ассоциативно.

5. Z[x], +, ), (Q[x], +, ), (R[x], +, ), (C[x], +, ) – кольца многочленов. с обычными операциями сложения и умножения. Кольца многочленов коммутативны и ассоциативны.

6. (V, +, ) – кольцо геометрических векторов с операциями сложения и векторного умножения. Это кольцо не ассоциативно и некоммутативно.

7. Кольцо подмножеств. Возьмем произвольный универс U и множество всех его подмножеств M=2^U. В качестве сложения возьмем симметрическую разность множеств , в качестве произведения – пересечение . Алгебраическая система (2^U, , ) является кольцом, притом ассоциативным и коммутативным. Роль нуля в этом кольце играет пустое множество .

8. (Z, , ) – кольцо целых чисел с нестандартными операциями: xy=x+y–1 в качестве сложения и xy=x+y–xy в качестве умножения. Также кольцами являются алгебраические системы (Q, , ), (R, , ), (C, , ). Все эти кольца ассоциативны и коммутативны.

9. Выясним, является ли кольцом алгебраическая система (L[x], +, _), где L[x] – множество линейных функций вида f(x)=ax+b с произвольными числовыми коэффициентами a и b, сложение выполняется обычным образом путем приведения подобных членов, а операция (_) есть композиция. Эта операция ассоциативна, но некоммутативна.

Выполняются ли для этих операций законы дистрибутивности, т.е. всегда ли верны равенства f_1(f₂+f₃)=(f_1f₂)+(f_1f₃) и (f₂+f₃)_f₁=(f_2f₁)+(f_3f₁), где f_i(x)=a_ix+b_i для i=1,2,3 ?

Проверим первый закон дистрибутивности. Временно обозначим p =f₂+f₃, имеем p(x)=(a₂+a₃)x+(b₂+b₃). В левой части проверяемого равенства получаем

(f_1p)(x)=(f₁(p(x))=a₁((a₂+a₃)x+(b₂+b₃))+b₁=

=(a₁a₂+a₁a₃)x+(a₁b₂+a₁b₃+b₁).

В правой части первое слагаемое

(f_1f₂)(x)=(f₁(f₂(x))=a₁(a₂x+b₂)+b₁=a₁a₂x+(a₁b₂+b₁),

второе слагаемое

(f_1f₃)(x)=(f₁(f₃(x))=a₁(a₃x+b₃)+b₁=a₁a₃x+(a₁b₃+b₁),

сумма (a₁a₂+a₁a₃)x+(a₁b₂+a₁b₃+2b₁).

Таким образом, первый закон дистрибутивности не выполняется, поэтому система (L[x], +, _) не является кольцом.

Замечание. Второй закон дистрибутивности в этой системе выполняется – проверьте это в качестве самостоятельного упражнения. Однако кольцо не получилось 

Рассмотри некоторые общие свойства колец.

Докажем мультипликативные свойства нуля: для всякого элемента кольца a выполняются равенства a0=0 и 0a=0. По определению нуля как нейтрального элемента относительно сложения, имеем a+0=a. Умножим это равенство слева на a, получим a(a+0)=aa. По дистрибутивности раскроем скобки слева a, получим aa+a0=aa. Прибавим к обеим частям равенства элемент –aa и получим a0=0, что и требовалось. Второе мультипликативное свойство нуля доказывается аналогично.

Докажем "правило знаков": для всяких элементов кольца a и b выполняются равенства a(–b)= –(ab) и (–a)b= –(ab). Для доказательства первого "правила" возьмем равенство a0=0 и подставим в его левую часть выражение нуля: (b+(–b))=0. Получим a0=a(b+(–b))=ab+a(–b)=0, откуда следует a(–b)= –(ab). Равенство (–a)b= –(ab) доказывается аналогично. Также легко доказать, что (–a)(–b)=ab.

Как и в теории групп, можно сформулировать понятие подкольца. Пусть K=(M, +, ) – некоторое кольцо. Тогда кольцо K'=(M', +, ), где множество M'M, называется подкольцом в K, символически K'K. Нейтральный элемент относительно сложения в кольце и в подкольце (т.е. 0) – один и тот же, способ построения симметричного элемента также одинаковый. У каждого кольца есть, по меньшей мере, два подкольца: оно само и подкольцо, базовое множество которого состоит из одного элемента 0. Эти подкольца называются несобственными, остальные (если они имеются) – собственными.

Пример 1. Кольцо целых чисел (Z, +, ) является подкольцом в кольце рациональных чисел (Q, +, ), которое само является подкольцом в кольце вещественных чисел (R, +, ), а последнее – подкольцом в кольце комплексных чисел (C, +, ). Нейтральный элемент во всех этих кольцах – число 0, симметричный элемент относительно сложения для любого числа x – противоположное по знаку число –x. Символически отношения между этими кольцами можно записать так:

(Z, +, )(Q, +, )(R, +, )(C, +, ).

Здесь все включения – строгие, все подкольца – собственные.

Пример 2. Кольцо треугольных матриц (T_n, +, ) является собственным подкольцом в кольце квадратных матриц (M_n, +, ).

Пример 3. Кольца многочленов связаны отношениями включения

(Z[x], +, )(Q[x], +, )R[x], +, )(C[x], +, ),

все включения строгие, все подкольца – собственные.

7. Поле

Полем называется кольцо F=(M, +, ), обладающее следующими дополнительными свойствами:

• Умножение ассоциативно и коммутативно, нейтральный элемент относительно умножения обозначается 1, элемент, симметричный для x относительно умножения обозначается x^–1.

• Нейтральные элементы относительно сложения и умножения различны, т.е. 01. Отсюда следует, что поле содержит не менее двух элементов.

• Элемент x^–1 существует для любого x0. Таким образом, подсистема (M_*, ) ненулевых элементов поля с операцией умножения является группой, она называется мультипликативной группой поля.

Многие (но не все) приводившиеся выше примеры колец являются полями.

1. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) – числовые поля с обычными операциями сложения и умножения.

2. Добавим к множеству рациональных чисел Q одно иррациональное чис­ло . Чтобы обеспечить замкнутость по операциям, придется рассматривать произведения вида b и суммы вида a+b с рациональными a и b. Полученное множество чисел {a + b : a,bQ} является базовым множеством поля с обычными операциями +, . Центральным моментом в доказательстве того, что эта алгебраическая система действительно есть поле, является построение для произвольного ненулевого x = a + b  обратного элемента по операции умножения x^–1.

Имеем . Зна­ме­натель последней дроби обращается в нуль при a²–b²2=0, т.е. при , но тогда , что невозможно при рациональных a,b. Таким образом, x^–1 существует и принадлежит данному множеству. Полученное поле обозначается Q[ ] и называется расширением поля Q.

Аналогичным образом можно построить расширение поля рациональных чисел с помощью любого иррационального числа: , и более сложных, например и т.п.

3. (Z_p, +_p, _p) – поле вычетов по простому модулю p.

4. (Q, , ) – поле рациональных чисел с нестандартными операциями: xy=x+y–1 в качестве сложения и xy=x+y–xy в качестве умножения. Также полями являются алгебраические системы (R, , ) и (C, , ). При формировании мультипликативных групп этих полей из базового множества исключается не число 0, а число 1 – нейтральный элемент относительно сложения .

5. (M, +, ) – поле матриц специального вида , где a,bR с операциями сложения и умножения матриц. Роль нуля в этом поле играет нулевая матрица, роль единицы – единичная матрица 2-го порядка. Определитель такой матрицы равен d=a²+b² и обращается в нуль только при a=b=0. Обратная матрица имеет такой же вид, замкнутость множества M относительно умножения и коммутативность этой операции на множестве M предлагается проверить самостоятельно.

6. GF(2²) – так называемое поле Галуа из четырех (2²) элементов. Базовое множество M={0,1,,}, где  и  не переменные, а некоторые нечи­сло­вые кон­станты. Операции сложения и умножения задаются табли­цам Кэли. Некоторые свойства операций очевидны из таблиц (коммута­тивность операций, роль 0 и 1, наличие симметричных элементов). Ассоциа­тив­ность умножения можно установить, заметив, что мультипликативная группа этого поля изоморфна аддитивной группе вычетов (Z₃, +₃) – отображение  множества M_={1,,} на множество Z₃={0,1,2}, обес­печи­ваю­щее соответствие опера­ций, задается таблицей . Другие свой­ства (ассоциативность сложения и дистри­бутивность) доказывать не станем.

Таблица 2.1

Операции в поле Галуа GF(2²)

+	0	1					0	1		
0	0	1				0	0	0	0	0
1	1	0				1	0	1		
			0	1			0			1
			1	0			0		1	

Данное поле Галуа не является единственным, любое поле Галуа GF(pⁿ) задается простым числом p и натуральным числом (показателем степени) n, величина pⁿ есть количество элементов в базовом множестве поля.

Рассмотрим некоторые общие вопросы, касающиеся полей.

В любом поле можно ввести операцию вычитания, положив по определению x–y=x+(–y), а также операцию деления (/), положив x/y=xy^–1 для любого y0. Здесь –y есть элемент симметричный к y по операции сложения +, а y^–1 – элемент симметричный к y по операции умножения . Произведение xy^–1 обычно записывают в виде дроби (или отношения) . Действия с дробями подчиняются обычным правилам: приведение к общему знаменателю, обращение дроби и т.п.

Очень важное свойство любого поля – в нем нет делителей нуля. Делителями нуля называются элементы базового множества x0 и y0, произведение которых xy=0. Так, 23=6, поэтому в алгебраической системе (Z₆, ₆) вычеты 2 и 3 являются делителями нуля: 2 ₆ 3=0.

Отсутствие делителей нуля в поле означает, что если xy=0, по крайней мере, один из элементов x и y равен 0. В самом деле, пусть, скажем x0, тогда существует x^–1. Умножив на него обе части равенства xy=0 получим x^–1xy=x^–10. Слева имеем x^–1x=1, 1y=y. Справа, согласно мультипликативному свойству нуля, x^–10=0. Окончательно получили y=0.

Очевидно понятие подполя: пусть F=(M, +, ) – некоторое поле. Тогда поле F'=(M', +, ), где множество M'M, называется подполем поля F, символически F'F. Нейтральные элементы 0 и 1 в поле и в подполе – одни и те же, способы построения симметричных элементов по операциям в поле и в подполе также одинаковые. У каждого поля есть, по меньшей мере, два подполя: оно само и подполе, базовое множество которого состоит только из 0 и 1. Эти подполя называются несобственными, остальные (если они имеются) – собственными.

Пример 1. Поле рациональных чисел (Q, +, ) является подполем поля вещественных чисел (R, +, ), которое само является подполем поля комплексных чисел (C, +, ). Символически отношения между этими полями можно записать так:

(Q, +, )(R, +, )(C, +, ).

Здесь все включения – строгие, все подполя – собственные.

Поле (Q, +, ) является минимальным числовым полем. В самом деле, числа 0 и 1 должны принадлежать любому полю на основании определения. Требования замкнутости и существования симметричных элементов по обеим основным операциям приводят к тому, что все целые числа и все дроби также принадлежат полю. Таким образом, любому числовому полю принадлежат все рациональные числа, что и означает минимальность поля(Q, +, ).

Пример 2. Такие же соотношения имеют место между полями рациональных, вещественных и комплексных чисел с нестандартными операциями

(Q, , )(R, , )(C, , ).

Для полей также можно сформулировать понятие изоморфизма. Пусть F₁=(M₁, +₁, ₁) и F₂=(M₂, +₂, ₂) – два поля на разных (вообще говоря) множествах и с разными (вообще говоря) операциями. Поля F₁ и F₂ изоморфны, если

• существует взаимно однозначное отображение :M₁M₂,

• для любых x,yM₁ имеем (x +₁ y)= (x) +₂ ( y) и

(x ₁ y)= (x) ₂ ( y).

Несколько странные обозначения (+₁ и т.п.) здесь употреблены, чтобы подчеркнуть возможное (хотя и не обязательное) различие операций в разных полях. На практике мы не всегда столь педантичны: сложение (а также умножение) чисел и матриц зачастую обозначают одинаково, но понимать различие операций необходимо и относится к одинаковым обозначениям разных операций следует просто как к "вольности математической речи".

Рассмотрим примеры изоморфизма полей.

1. Поле рациональных чисел с нестандартными операциями изоморфно полю рациональных чисел с обычными операциями:

(Q, , )  (Q, +, ).

Отображение  множества Q на себя, обеспечивающее соответствие операций, задается простой формулой (x)=1–x.

Имеем (1)=0 – нейтральный элемент относительно операции  переходит в нейтральный элемент относительно операции +.

Далее, (0)=1 – нейтральный элемент относительно операции  переходит в нейтральный элемент относительно операции .

Симметричный элемент относительно операции  для числа x равен 2–x, он переходит в (2–x)=1–(2–x)=x–1, сумма (x)+(2–x)=0 – это нейтральный элемент относительно операции +.

Симметричный элемент относительно операции  для числа x равен , он переходит в , произведение

– это нейтральный элемент относительно операции .

Проверим, что (xy)= (x)+(y).

Слева имеем (x+y–1)=1–(x+y–1)=2–(x+y).

Справа (1–x)+(1– y)=2–(x+y) – тот же результат.

Проверим, что (xy)= (x)(y).

Слева имеем (x+y–xy)=1–( x+y–xy)= (1–x)(1– y).

Справа сразу (1–x)(1– y) – тот же результат.

Видим, что все требования, предъявляемые к изоморфизму, удов­летворены.

Аналогичным образом имеют место еще два изоморфизма полей

(R, , )  (R, +, ) и (C, , )  (C, +, ).

2. Поле матриц специального вида , где a,bR с операциями сложения и умножения матриц изоморфно полю комплексных чисел с обычными числовыми операциями. Отображение  множества матриц на множество комплексных чисел C, обеспечивающее соответствие операций, задается так: .

Нулевой матрице (a=b=0) соответствует число 0, единичной матрице (a=1, b=0) соответствует число 1+0i =1.

Пусть матрица , ей соответствует комплексное число (x)= a+bi. Тогда матрице , которая симметричная ей относи­тельно сложения, соответствует комплексное число (–x)= –a–bi= –(x).

Матрице , которая симметричная матрице x относи­тельно умножения, соответствует (x^–1)= =((x))^–1.

Пусть задана также матрица . Сумме матриц

соответствует комплексное число

(x+y)=(a+c)+(b+d)i=(a+bi)+(c+di)=(x)+(y).

Произведению матриц

соответствует ком­плексное число

(xy)=(ac–bd)+(bc+ad)i=(a+bi)(c+di)=(x)(y).

Видим, что все требования, предъявляемые к изоморфизму, удов­летворены.

3. Поле матриц специального вида , где a,bQ с операциями сложения и умножения матриц изоморфно полю Q[ ] с базовым мно­жеством {a + b  : a,bQ} и с обычными числовыми операциями. Отображение  множества матриц на множество чисел, обеспечивающее соответствие операций, задается так: .

Проверку всех свойств изоморфизма предлагается сделать самостоятельно по образцу предыдущего примера.