28

Элементы общей алгебры

1. Алгебраические системы

Общая алгебра изучает алгебраические системы. Любая такая система определяется

• одним или несколькими базовыми множествами элементов произвольной при­роды; это могут быть числа, векторы, матрицы, функ­ции (например, многочлены) и т.д.;

• набором алгебраических операций с этими элементами; результатом выполнения операции с какими-то элементами-участниками является новый элемент; элементы-участники называются операндами.

Каждая операция характеризуется количеством операндов, участвующих в ней. Для большинства операций это количество равно двум, такие операции называются бинарными или двухместными, однако встречаются унарные или одноместные операции, а также тернарные или трехместные, операции с количеством операндов больше трех встречается редко.

Возможны ситуации, когда та или иная операция не определена (не выполнима) при некоторых значениях операндов, это зависит от согласованности операции с базовым множеством. Такие операции называются частичными.

Если операция выполнима при любых значениях операндов из некоторого множества и результат операции всякий раз также принадлежит этому множеству, говорят, что множество замкнуто относительно этой операции, в противном случае множество незамкнуто относительно операции. Так, множество четных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, множество нечетных чисел замкнуто относительно умножения, но незамкнуто относительно сложения.

Рассмотрим примеры алгебраических систем.

1. Арифметика

Операции – четыре арифметических действия: сложение (+), вычитание (–), умножение () и деление (/). Все эти операции – бинарные.

В качестве базового множества обычно используется одно из стан­дартных числовых множеств:

множество натуральных чисел N={1,2,},

множество целых чисел Z={,–2,–1,0,1,2,},

множество рациональных чисел, т.е. дробей Q={ , где mZ, nN},

множество вещественных (действительных) чисел R,

множество комплексных чисел C.

Эти множества связаны отношениями включения:

N  Z  Q  R  C.

На множестве натуральных чисел N вычитание (–) является частичной операцией: вычитание 5–3 возможно, а 3–5 невозможно (ре­зультат операции –2 не является натуральным числом). Также частичной операцией на множестве N является деление (/): деление 6/3 возможно, а 6/5 невозможно (ре­зультат деления – дробь , которая не является натуральным числом).

Иначе говоря, множество натуральных чисел N замкнуто относительно операций сложения и умножения, но незамкнуто относительно операций вычитания и деления.

Множество целых чисел Z замкнуто также и относительно вычитания, но по-прежнему незамкнуто относительно деления.

Множество рациональных чисел Q, множество вещественных (действительных) чисел R, множество комплексных чисел C замкнуты также и относительно операции деления (с оговоркой о невозможности деления на 0).

2. Целочисленное деление

Для натуральных чисел возможно деление с остатком, задающее две бинарные операции. Обозначим, как в паскале, частное div, остаток mod. Так, 13 div 5=2, 13 mod 5=3, поскольку 13=25+3 и при этом остаток 3 строго меньше делителя 5.

В языке программирования паскаль операции div и mod определены для любых целых чисел, отличных от 0, как для положительных, так и для отрицательных, однако мы ограничимся натуральными числами, так как "правило знаков" для результатов этих операций при операндах произвольных знаков мало вразумительно. Таким образом, в алгебраических системах с операциями div и mod мы примем в качестве базового множество натуральных чисел N.

На этом множестве можно определить еще две бинарные операции, связанные с делением, точнее говоря, со свойством делимости: наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Так, НОД(20,24)=4, НОК(20,24)=120.

В мощной программной системе MATLAB эти операции представлены функциями gcd (greatest common divisor) и lcm (least common multiple) соответственно.