Квантовая статистическая физика
Квантовая статистическая физика изучает системы из большого числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики, из которых следует:
дискретность спектра энергии пространственно ограниченной системы;
вырождение состояний по энергии;
тождественность микрочастиц;
принцип запрета Паули для фермионов.
Рассмотрим условия, которые делают необходимым учет этих свойств.
Условия применимости классической и квантовой статистической физики
На рубеже XIX–XX вв. делались попытки применить классическую статистическую физику для описания электромагнитного теплового излучения в полости и электронного газа в металле. Оказалось, что ее следствия противоречат опыту. Например, теплоемкость металла складывается из теплоемкости ионной решетки и теплоемкости электронов проводимости , тогда . Число степеней свободы электрона равно трем и из теоремы о распределении энергии по степеням свободы следует молярная теплоемкость . Ион решетки имеет три колебательные степени свободы, на каждую приходится энергия kT, тогда . В результате из классической теории следует молярная теплоемкость металла и молярная теплоемкость диэлектрика . Измерения, выполненные при нормальной и более высокой температурах, подтвердили закон Дюлонга и Пти (П.4.3)
как для металлов, так и для диэлектриков. Следовательно, электронный газ не дает вклада в теплоемкость металла. При температуре, существенно меньшей нормальной, измеренная теплоемкость диэлектриков
,
для металлов
.
Объяснить эти результаты классическая теория не в состоянии, здесь необходимо учитывать квантовые свойства микрочастиц.
Условия применимости классического описания
1. Высокие температуры, при которых несущественна дискретность квантовых состояний:
,
где и – уровни энергии системы.
Если электрон находится в кубическом ящике со стороной L, то из краевого условия Борна–Кармана получаем
,
где nx – целое. Откуда находим
,
.
Для L = 1 мм получаем , что соответствует тепловой энергии kT с температурой порядка 10–9 К. Для частицы, находящейся в макроскопическом объеме, квантование энергии поступательного движения несущественно при больших значениях квантовых чисел и высоких температурах.
2. Большое значение параметра r системы с размерностью длины по сравнению с длиной волны де Бройля
.
Для идеального газа наиболее вероятный импульс частицы соответствует
.
Для среднего расстояния между частицами получаем , тогда
,
где n – концентрация молекул. Условие принимает вид
. (3.1)
Классическая теория идеального газа выполняется при достаточно малых концентрациях, высоких температурах и не слишком малых массах частиц. Сопоставляя (3.1) с выражением для химического потенциала (2.62а), получаем
< 0.
В области применимости классической теории химический потенциал отрицателен.
Для гелия при нормальных условиях
, ,
, .
Выполняется и классическая физика применима.
Для электронов в металле при нормальной температуре 10–7 см, расстояние между узлами кристаллической решетки 0,210–7см. Условие нарушается и классическая физика не применима для электронного газа в металле.
3. Большой объем фазового пространства, приходящийся на одну частицу:
.
Для кристаллической решетки средняя кинетическая энергия узла равна
,
тогда флуктуация
.
Потенциальная энергия упругих колебаний
,
.
В результате
,
. (3.2)
Чем прочнее кристалл, тем больше частота собственных колебаний узлов решетки – для меди , для алмаза . В результате чем прочнее кристалл и ниже температура, тем меньше согласие с классической теорией.
Для описания систем, которые нарушают хотя бы одно полученное условие, необходимо использовать квантовую статистическую физику.