5.3 Частина 2. Гнуття і кручення

5.3.1 Послідовність розв’язання задач

 Балку розділити на ділянки за характерними перерізами.

 Визначити вид епюри поперечних сил на кожній ділянці залежно від зовнішньої навантаги, обчислити поперечні сили в характерних перерізах і побудувати епюри поперечних сил.

 Визначити вид епюри гнучих моментів на кожній ділянці залежно від зовнішньої навантаги, обчислити гнучи моменти в характерних перерізах і побудувати епюри гнучих моментів.

 Для заданої балки, що має за всією довжиною постійне попереччя, виконати проектний розрахунок, тобто визначити момент опору попереччя гнуттю W_х в небезпечному перерізі, де гнучий момент має найбільше за модулем значення.

Приклад 1. Для заданої консольної балки (попереччя  двотавр, [] = 160 МПа) побудувати епюри поперечних сил Q_y і гнучих моментів М_х і підібрати попереччя за сортаментом (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6 – Вихідні дані та епюри поперечних сил Q_y і гнучих моментів М_х

Розв’язання:

1 Розбиваємо балку на ділянки за характерними перерізами А, В, С.

2 Визначаємо значення величин поперечних сил Q_y у характерних перерізах і будуємо епюри (рисунок 5.6, б).

;

;

.

3 Визначаємо значення гнучого моменту М_х у характерних перерізах і будуємо епюри (рисунок 5.6, в)

М_А=0;

;

Беручи до уваги найбільше значення гнучого моменту М_{х мах} у перерізі В (рисунок 5.6, в)

,

визначаємо момент опору попереччя із залежності:

.

Згідно до ГОСТ 8239-89 на сортамент прокатної сталі в залежності від найбільшого більшого значення моменту опору попереччя вибираємо двотавр №16, для якого W = 109,8 см³, що на користь міцності (див. додаток А).

Приклад 2. Для заданої двохопорної балки (рисунок 5.7) визначити реакції опор, побудувати епюри поперечних сил та гнучих моментів і визначити розміри попереччя (h,b) у формі прямокутника або круга (d), прийнявши для прямокутника h / b = 1,5. Вважати

Розв’язання:

1 Визначаємо опорні реакції

,

Рисунок 5.7  Вихідні дані та епюри поперечних сил і гнучих моментів

двохопорної балки

;

;

;

_.

Знак “” у реакції R_D указує на те, що напрямок дії реакції потрібно змінити на протилежне, тобто стрілку реакції направити донизу, як показано на робочій схемі (рисунок 5.7,б).

2 Виконуємо перевірку правильності визначення реакцій:

, .

Умова виконується, отже, реакції визначені вірно.

При побудові епюр використовуємо тільки дійсні напрямки.

3 Розбиваємо балку на ділянки за характерними перерізами А, В, С, D (рисунок 5.7, б).

4 Визначаємо в характерних перерізах значення поперечної сили Q_y і будуємо епюру ліворуч, праворуч (рисунок 5.7, в) :

;

;

;

;

.

5 Обчислюємо в характерних перерізах значення гнучого моменту М_г й будуємо епюру (рисунок 5.7, г).

;

;

;

;

6 Обчислюємо розміри попереччя даної балки з умов міцності на гнуття за двома варіантами:

а) попереччя  прямокутник із заданим співвідношенням сторін (рисунок 5.7,г);

б) попереччя  круг (рисунок 5.7, д).

Для визначення розмірів перерізу балки знаходимо момент опору попереччя гнуттю:

.

Використовуючи формулу моменту опору попереччя гнуттю для прямокутного перерізу і зважаючи на те, що h = 1,5·b (за умовою завдання), знаходимо :

;

h = 1,5· b = 1,5127 = 190,5 мм .

Використовуючи формулу моменту опору попереччя гнуттю для круглого перерізу , знаходимо його діаметр :

.

Таким чином, міцність балки забезпечується, якщо:

 при прямокутному попереччі балки сторони прямокутника дорівнюватимуть b=127 мм, h=190,5 мм;

 при круглому попереччі балки діаметр круга дорівнюватиме d = 196 мм.